F(x)=3x²+2x-1
Resposta completa com o gráfico conclave e vertice

Q: F(x)=3x²+2x-1 Resposta completa com o gráfico conclave e vertice

Para analisar a função quadrática $ F(x) = 3x^2 + 2x - 1 $, vamos encontrar o vértice e o gráfico. ### 1. Forma padrão da função quadrática A função quadrática está na forma $ ax^2 + bx + c $, onde: - $ a = 3 $ - $ b = 2 $ - $ c = -1 $ ### 2. Vértice da parábola O vértice de uma parábola dada por $ ax^2 + bx + c $ pode ser encontrado usando as fórmulas: - A coordenada $ x $ do vértice é dada por: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] - A coordenada $ y $ do vértice é encontrada substituindo $ x_v $ na função: \[ y_v = F(x_v) \] #### Calculando $ x_v $: \[ x_v = -\frac{2}{2 \times 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \] #### Calculando $ y_v $: Substituímos $ x_v = -\frac{1}{3} $ na função: \[ y_v = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 \] \[ y_v = 3 \times \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 \] \[ y_v = \frac{3}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 \] \[ y_v = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{4}{3} \] Portanto, o vértice é $ \left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right) $. ### 3. Concavidade A concavidade da parábola depende do coeficiente $ a $: - Se $ a > 0 $, a parábola é côncava para cima. - Se $ a < 0 $, a parábola é côncava para baixo. Como $ a = 3 $ (que é maior que zero), a parábola é côncava para cima. ### 4. Gráfico O gráfico de $ F(x) = 3x^2 + 2x - 1 $ é uma parábola com vértice em $ \left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right) $ e concavidade voltada para cima. Aqui está uma representação simplificada do gráfico: ``` y ↑ | | * | / \ | / \ | / \ | / \ | / \ +------------------→ x ``` Essa representação ilustra a forma geral da parábola com seu vértice e concavidade.

Question

F(x)=3x²+2x-1
Resposta completa com o gráfico conclave e vertice

Accepted Answer

Para analisar a função quadrática $ F(x) = 3x^2 + 2x - 1 $, vamos encontrar o vértice e o gráfico.

### 1. Forma padrão da função quadrática

A função quadrática está na forma $ ax^2 + bx + c $, onde:
- $ a = 3 $
- $ b = 2 $
- $ c = -1 $

### 2. Vértice da parábola

O vértice de uma parábola dada por $ ax^2 + bx + c $ pode ser encontrado usando as fórmulas:

- A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
  $$
  x_v = -\frac{b}{2a}
  $$

- A coordenada $ y $ do vértice é encontrada substituindo $ x_v $ na função:
  $$
  y_v = F(x_v)
  $$

#### Calculando $ x_v $:

$$
x_v = -\frac{2}{2 \times 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
$$

#### Calculando $ y_v $:

Substituímos $ x_v = -\frac{1}{3} $ na função:

$$
y_v = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1
$$

$$
y_v = 3 \times \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1
$$

$$
y_v = \frac{3}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1
$$

$$
y_v = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{4}{3}
$$

Portanto, o vértice é $ \left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right) $.

### 3. Concavidade

A concavidade da parábola depende do coeficiente $ a $:
- Se $ a > 0 $, a parábola é côncava para cima.
- Se $ a < 0 $, a parábola é côncava para baixo.

Como $ a = 3 $ (que é maior que zero), a parábola é côncava para cima.

### 4. Gráfico

O gráfico de $ F(x) = 3x^2 + 2x - 1 $ é uma parábola com vértice em $ \left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}\right) $ e concavidade voltada para cima.

Aqui está uma representação simplificada do gráfico:

```
   y
   ↑
   |
   |          *
   |         / \
   |        /   \
   |       /     \
   |      /       \
   |     /         \
   +------------------→ x
```

Essa representação ilustra a forma geral da parábola com seu vértice e concavidade.

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F(x)=3x²+2x-1 Resposta completa com o gráfico conclave e vertice

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