Faça aí o esboço do gráfico das seguintes funções f(x)x² + 4x - 4

Q: Faça aí o esboço do gráfico das seguintes funções f(x)x² + 4x - 4

Para esboçar o gráfico da função $f(x) = x^2 + 4x - 4$, podemos seguir alguns passos: 1. **Identificar o tipo de função**: A função dada é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. 2. **Determinar a concavidade**: O coeficiente do termo $x^2$ é positivo (+1), portanto, a parábola tem concavidade voltada para cima. 3. **Calcular o vértice**: O vértice de uma função quadrática dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$ pode ser encontrado usando as fórmulas $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$. Neste caso, $a = 1$, $b = 4$, e $c = -4$. Então, \[x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2\] Substituindo $x_v = -2$ em $f(x)$, \[y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8\] Portanto, o vértice da parábola é $(-2, -8)$. 4. **Determinar os pontos onde a parábola intercepta o eixo $x$** (raízes da equação): Para encontrar as raízes, igualamos $f(x)$ a zero e resolvemos para $x$. \[x^2 + 4x - 4 = 0\] Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, onde $a = 1$, $b = 4$, e $c = -4$, \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}\] \[x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}\] \[x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}\] \[x = -2 \pm 2\sqrt{2}\] Assim, as raízes são $x_1 = -2 - 2\sqrt{2}$ e $x_2 = -2 + 2\sqrt{2}$. 5. **Determinar o ponto onde a parábola intercepta o eixo $y$**: Para encontrar esse ponto, basta calcular $f(0)$, \[f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = -4\] Portanto, a parábola intercepta o eixo $y$ em $(0, -4)$. Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função $f(x) = x^2 + 4x - 4$, lembrando que ele é uma parábola com concavidade para cima, vértice em $(-2, -8)$, intercepta o eixo $x$ em $x_1 = -2 - 2\sqrt{2}$ e $x_2 = -2 + 2\sqrt{2}$, e intercepta o eixo $y$ em $(0, -4)$.

Question

Accepted Answer

Para esboçar o gráfico da função $f(x) = x^2 + 4x - 4$, podemos seguir alguns passos:

1. **Identificar o tipo de função**: A função dada é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola.

2. **Determinar a concavidade**: O coeficiente do termo $x^2$ é positivo (+1), portanto, a parábola tem concavidade voltada para cima.

3. **Calcular o vértice**: O vértice de uma função quadrática dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$ pode ser encontrado usando as fórmulas $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$.
   
   Neste caso, $a = 1$, $b = 4$, e $c = -4$. Então,
   $$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$
   Substituindo $x_v = -2$ em $f(x)$,
   $$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$$
   Portanto, o vértice da parábola é $(-2, -8)$.

4. **Determinar os pontos onde a parábola intercepta o eixo $x$** (raízes da equação): Para encontrar as raízes, igualamos $f(x)$ a zero e resolvemos para $x$.
   
   $$x^2 + 4x - 4 = 0$$
   
   Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, onde $a = 1$, $b = 4$, e $c = -4$,
   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}$$
   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}$$
   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}$$
   $$x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}$$
   $$x = -2 \pm 2\sqrt{2}$$
   
   Assim, as raízes são $x_1 = -2 - 2\sqrt{2}$ e $x_2 = -2 + 2\sqrt{2}$.

5. **Determinar o ponto onde a parábola intercepta o eixo $y$**: Para encontrar esse ponto, basta calcular $f(0)$,
   $$f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = -4$$
   Portanto, a parábola intercepta o eixo $y$ em $(0, -4)$.

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função $f(x) = x^2 + 4x - 4$, lembrando que ele é uma parábola com concavidade para cima, vértice em $(-2, -8)$, intercepta o eixo $x$ em $x_1 = -2 - 2\sqrt{2}$ e $x_2 = -2 + 2\sqrt{2}$, e intercepta o eixo $y$ em $(0, -4)$.

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