(Famerp-SP) Dois cubos idênticos, de aresta igual a 1 dm, foram unidos com sobreposição perfeita de duas das suas faces. P é vértice de um dos cubos, Q é vértice do outro cubo e R é vértice compartilhado por ambos os cubos, conforme indica a figura. A área do triângulo de vértices P, Q e R é igual a a) √6/2 dm² b) √6/3 dm² c) √3/2 dm² d) √6/6 dm² e) 2√3/3 dm²

Para calcular a área do triângulo $PQR$, vamos usar as coordenadas dos vértices com base na configuração dos cubos.

1. Coordenadas dos pontos:

   • $P = (0, 0, 1)$
   • $Q = (1, 0, 0)$
   • $R = (1, 1, 1)$

2. Vetor $PQ$:

$$PQ = Q - P = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1)$$

1. Vetor $PR$:

$$PR = R - P = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0)$$

1. Produto vetorial $PQ \times PR$:

$$PQ \times PR = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$$ $$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (1, -1, 1)$$

1. Módulo do produto vetorial:

$$\|PQ \times PR\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

1. Área do triângulo $PQR$:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \|PQ \times PR\| = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Resposta: c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dm²