(FGV-SP) A figura indica um cone circular reto de vértice V e centro da base C. O quadrilátero PQRS é um quadrado de área igual a 8 cm² cujo plano suporte determina com a base do cone um ângulo de 45°.

A área da base desse cone é igual a
a) 5π cm²
b) 1π cm²
c) 6π cm²
d) 13π cm²
e) 7π cm²

Question

(FGV-SP) A figura indica um cone circular reto de vértice V e centro da base C. O quadrilátero PQRS é um quadrado de área igual a 8 cm² cujo plano suporte determina com a base do cone um ângulo de 45°.

A área da base desse cone é igual a a) 5π cm² b) 1π cm² c) 6π cm² d) 13π cm² e) 7π cm²

Question image: (FGV-SP) A figura indica um cone circular reto de vértice V e centro da base C. O quadrilátero PQRS é um quadrado de área igual a 8 cm² cujo plano suporte determina com a base do cone um ângulo de 45°.

A área da base desse cone é igual a
a) 5π cm²
b) 1π cm²
c) 6π cm²
d) 13π cm²
e) 7π cm²

A área da base desse cone é igual a
a) 5π cm²
b) 1π cm²
c) 6π cm²
d) 13π cm²
e) 7π cm²

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender que o quadrilátero PQRS é um quadrado de área 8 cm². Assim, cada lado do quadrado mede $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm.

O plano que contém o quadrado forma um diedro de 45° com a base do cone. Isso significa que o ângulo entre o plano do quadrado e o plano da base do cone é de 45°.

Como o quadrado está inclinado em relação à base do cone, podemos usar trigonometria para encontrar o raio da base do cone. O quadrado PQRS é diagonal em relação ao cone. A diagonal do quadrado é $d = 2\sqrt{2}\sqrt{2} = 4$ cm.

A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da base do cone multiplicado pelo seno de 45°:

$$
d = 2r \cdot \sin(45^\circ)
$$

Substituindo os valores, temos:

$$
4 = 2r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

$$
4 = r\sqrt{2}
$$

$$
r = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}
$$

A área da base do cone é dada por $A = \pi r^2$:

$$
A = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi \times 8 = 8\pi
$$

Portanto, a área da base do cone é $8\pi$ cm².

**Resposta: Não há alternativa correta.**

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