figura a seguir mostra um objeto pontual P que se
encontra a uma distância de 6,0 m de um espelho plano.
Se o espelho for girado de um ângulo de 60° em relação à
posição original, como mostra a figura, qual a distância
entre P e a sua nova imagem?

Question

figura a seguir mostra um objeto pontual P que se
encontra a uma distância de 6,0 m de um espelho plano.
Se o espelho for girado de um ângulo de 60° em relação à
posição original, como mostra a figura, qual a distância
entre P e a sua nova imagem?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender como a rotação do espelho afeta a posição da imagem de um objeto. Quando um espelho plano é girado por um ângulo $\theta$, a direção do raio refletido muda em $2\theta$. Isso significa que a imagem do objeto, em relação à sua posição original no espelho, também parecerá ter se movido. No entanto, a distância entre o objeto e sua imagem em um espelho plano sempre será o dobro da distância do objeto ao espelho, independentemente da orientação do espelho.

No caso da pergunta, o espelho é girado $60^\circ$, então a direção da imagem parece mudar em $2 \times 60^\circ = 120^\circ$. Para encontrar a distância entre o objeto $P$ e sua nova imagem $P'$ após a rotação do espelho, podemos usar a lei dos cossenos, pois temos um triângulo formado pelas posições original e final da imagem e a posição do objeto.

A distância original do objeto ao espelho é de $6,0$ m, então a distância original de $P$ para sua imagem $P'$ é o dobro disso, ou seja, $12,0$ m. Após a rotação, formamos um triângulo onde os lados são as distâncias do objeto ao espelho (6,0 m), a distância do objeto à nova posição da imagem (também 6,0 m, pois a distância do objeto ao espelho não muda), e a distância desconhecida entre $P$ e a nova posição de $P'$.

Usando a lei dos cossenos:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$

onde
- $c$ é a distância entre $P$ e a nova posição de $P'$,
- $a = 12,0$ m (distância original entre $P$ e $P'$),
- $b = 12,0$ m (a distância permanece a mesma após a rotação, pois o espelho apenas muda a orientação da imagem, não sua distância ao objeto),
- $C = 120^\circ$ é o ângulo formado pela mudança na direção da imagem devido à rotação do espelho.

Substituindo os valores conhecidos:

$$c^2 = 12,0^2 + 12,0^2 - 2 \cdot 12,0 \cdot 12,0 \cdot \cos(120^\circ)$$

Sabendo que $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, temos:

$$c^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot (-\frac{1}{2})$$

$$c^2 = 288 + 144$$

$$c^2 = 432$$

$$c = \sqrt{432}$$

$$c \approx 20,8 \text{ m}$$

Portanto, a distância entre $P$ e sua nova imagem após o espelho ser girado $60^\circ$ é aproximadamente $20,8$ metros.

figura a seguir mostra um objeto pontual P que se encontra ...

figura a seguir mostra um objeto pontual P que se encontra a uma distância de 6,0 m de um espelho plano. Se o espelho for girado de um ângulo de 60° em relação à posição original, como mostra a figura, qual a distância entre P e a sua nova imagem?

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