formula da combinação e do arranjo.

Question

Accepted Answer

A seguir, apresento as fórmulas de combinação e arranjo, juntamente com explicações para cada uma:

### Combinação

A combinação é usada quando queremos saber de quantas maneiras podemos escolher um certo número de elementos de um conjunto maior, sem nos importarmos com a ordem em que esses elementos são escolhidos. A fórmula da combinação é:

$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Onde:
- $ n $ é o número total de elementos no conjunto.
- $ k $ é o número de elementos que queremos escolher.
- $ ! $ denota o fatorial de um número (ex: $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $).

**Exemplo:**
Se você tem 5 frutas e quer escolher 3 para fazer uma salada, o número de combinações possíveis é:

$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{(6)(2)} = 10
$$

Isso significa que existem 10 maneiras diferentes de escolher 3 frutas de um conjunto de 5.

### Arranjo

O arranjo é usado quando a ordem dos elementos escolhidos importa. Ou seja, escolher os mesmos elementos em ordens diferentes conta como uma escolha diferente. A fórmula do arranjo é:

$$
A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}
$$

Onde:
- $ n $ é o número total de elementos no conjunto.
- $ k $ é o número de elementos que queremos arranjar.
- $ ! $ denota o fatorial de um número.

**Exemplo:**
Se você tem 5 pessoas e quer escolher 3 para formar uma fila, onde a ordem importa, o número de arranjos possíveis é:

$$
A(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{120}{2} = 60
$$

Isso significa que existem 60 maneiras diferentes de organizar 3 pessoas em uma fila, escolhidas de um grupo de 5.

### Resumo das Diferenças

- **Combinação:** A ordem não importa. Usada para contar subconjuntos.
- **Arranjo:** A ordem importa. Usada para contar sequências ou permutações parciais.

Entender quando usar cada fórmula é crucial para resolver problemas de contagem corretamente.