Para determinar a família de funções representada pela integral

$$\int \frac{5}{x^2 - 25} \, dx$$

primeiro, podemos observar que o denominador é uma diferença de quadrados: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

Podemos usar frações parciais para reescrever a expressão:

$$\frac{5}{x^2 - 25} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+5}$$

Multiplicando ambos os lados por $x^2 - 25$, obtemos:

$$5 = A(x+5) + B(x-5)$$

Expandindo e igualando os coeficientes:

$$5 = Ax + 5A + Bx - 5B$$ $$5 = (A+B)x + (5A-5B)$$

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os $x$, devemos ter:

1. $A + B = 0$
2. $5A - 5B = 5$

Da primeira equação, temos $A = -B$. Substituindo na segunda equação:

$$5A - 5(-A) = 5 \implies 10A = 5 \implies A = \frac{1}{2}$$

Portanto, $B = -\frac{1}{2}$.

Agora, substituímos os valores de $A$ e $B$ nas frações parciais:

$$\frac{5}{x^2 - 25} = \frac{1/2}{x-5} - \frac{1/2}{x+5}$$

Agora, integramos cada termo separadamente:

$$\int \frac{1/2}{x-5} \, dx - \int \frac{1/2}{x+5} \, dx$$

Essas integrais são do tipo $\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u|$, então:

$$= \frac{1}{2} \ln|x-5| - \frac{1}{2} \ln|x+5| + C$$

Podemos combinar os logaritmos:

$$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-5}{x+5} \right| + C$$

Portanto, a família de funções representada é:

$$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-5}{x+5} \right| + C$$