Função quadrática

(Albert Einstein-SP) Para arrecadar recursos para a festa de formatura, os formandos de uma escola decidiram vender convites para um espetáculo. Cada formando recebeu para vender um número de convites que é igual ao número total de formandos mais 3. Se todos os formandos conseguirem vender todos os convites a 5 reais, o dinheiro arrecadado será menor do que $26.270,00. Nessas condições, o maior número de formandos que essa escola pode ter é múltiplo de

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

Q: Função quadrática (Albert Einstein-SP) Para arrecadar recursos para a festa de formatura, os formandos de uma escola decidiram vender convites para um espetáculo. Cada formando recebeu para vender um número de convites que é igual ao número total de formandos mais 3. Se todos os formandos conseguirem vender todos os convites a 5 reais, o dinheiro arrecadado será menor do que $26.270,00. Nessas condições, o maior número de formandos que essa escola pode ter é múltiplo de a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

Para resolver esse problema, vamos definir: - $ n $: o número de formandos. De acordo com o problema, cada formando recebeu $ n + 3 $ convites para vender. Assim, o total de convites vendidos será: \[ n(n + 3) \] Cada convite é vendido por 5 reais, então o total arrecadado em dinheiro será: \[ 5 \cdot n(n + 3) \] Sabemos que esse valor deve ser menor do que 26.270 reais: \[ 5 \cdot n(n + 3) < 26270 \] Dividindo ambos os lados da desigualdade por 5, obtemos: \[ n(n + 3) < 5254 \] Resolvendo a inequação quadrática: \[ n^2 + 3n - 5254 < 0 \] Vamos encontrar as raízes da equação quadrática associada: \[ n^2 + 3n - 5254 = 0 \] Utilizando a fórmula de Bhaskara: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde $ a = 1 $, $ b = 3 $, $ c = -5254 $. \[ n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5254)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 21016}}{2} \] \[ n = \frac{-3 \pm \sqrt{21025}}{2} \] A raiz quadrada de 21025 é 145, então: \[ n = \frac{-3 \pm 145}{2} \] As soluções são: \[ n_1 = \frac{-3 + 145}{2} = 71 \] \[ n_2 = \frac{-3 - 145}{2} = -74 \] Como $ n $ deve ser positivo, consideramos $ n = 71 $. Agora, verificamos qual dos múltiplos das alternativas é o maior possível para $ n $. - Múltiplo de 12: $ 72 $ - Múltiplo de 13: $ 65 $ - Múltiplo de 14: $ 70 $ - Múltiplo de 15: $ 75 $ O maior valor de $ n $ possível que ainda satisfaz a condição $ n(n + 3) < 5254 $ é 70, que é múltiplo de 14. **Resposta: c** O maior número de formandos que a escola pode ter é múltiplo de 14.

Question

Função quadrática

(Albert Einstein-SP) Para arrecadar recursos para a festa de formatura, os formandos de uma escola decidiram vender convites para um espetáculo. Cada formando recebeu para vender um número de convites que é igual ao número total de formandos mais 3. Se todos os formandos conseguirem vender todos os convites a 5 reais, o dinheiro arrecadado será menor do que $26.270,00. Nessas condições, o maior número de formandos que essa escola pode ter é múltiplo de

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos definir:

- $ n $: o número de formandos.

De acordo com o problema, cada formando recebeu $ n + 3 $ convites para vender. Assim, o total de convites vendidos será:

$$
n(n + 3)
$$

Cada convite é vendido por 5 reais, então o total arrecadado em dinheiro será:

$$
5 \cdot n(n + 3)
$$

Sabemos que esse valor deve ser menor do que 26.270 reais:

$$
5 \cdot n(n + 3) < 26270
$$

Dividindo ambos os lados da desigualdade por 5, obtemos:

$$
n(n + 3) < 5254
$$

Resolvendo a inequação quadrática:

$$
n^2 + 3n - 5254 < 0
$$

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática associada:

$$
n^2 + 3n - 5254 = 0
$$

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

$$
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

onde $ a = 1 $, $ b = 3 $, $ c = -5254 $.

$$
n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5254)}}{2 \cdot 1}
$$

$$
n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 21016}}{2}
$$

$$
n = \frac{-3 \pm \sqrt{21025}}{2}
$$

A raiz quadrada de 21025 é 145, então:

$$
n = \frac{-3 \pm 145}{2}
$$

As soluções são:

$$
n_1 = \frac{-3 + 145}{2} = 71
$$

$$
n_2 = \frac{-3 - 145}{2} = -74
$$

Como $ n $ deve ser positivo, consideramos $ n = 71 $.

Agora, verificamos qual dos múltiplos das alternativas é o maior possível para $ n $.

- Múltiplo de 12: $ 72 $
- Múltiplo de 13: $ 65 $
- Múltiplo de 14: $ 70 $
- Múltiplo de 15: $ 75 $

O maior valor de $ n $ possível que ainda satisfaz a condição $ n(n + 3) < 5254 $ é 70, que é múltiplo de 14.

**Resposta: c**

O maior número de formandos que a escola pode ter é múltiplo de 14.

Função quadrática (Albert Einstein-SP) Para arrecadar recur...

Ask a question and receive an answer instantly