Gael está se preparando para um simulado de ciências exatas. Ele decidiu estudar 4 horas por semana, dedicando 1 hora para cada uma das seguintes matérias: Biologia, Física, Química. Na primeira semana, ele estudou todos os dias na mesma ordem fixa. Na segunda semana, ele decidiu seguir outra ordem fixa, mas com a condição de que nenhuma matéria ocupasse a mesma posição que na primeira semana. Assinale a alternativa que apresenta de quantas maneiras Gael pode reorganizar as matérias na segunda semana.
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Marlon
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10/12/24

Question

Question image: Gael está se preparando para um simulado de ciências exatas. Ele decidiu estudar 4 horas por semana, dedicando 1 hora para cada uma das seguintes matérias: Biologia, Física, Química. Na primeira semana, ele estudou todos os dias na mesma ordem fixa. Na segunda semana, ele decidiu seguir outra ordem fixa, mas com a condição de que nenhuma matéria ocupasse a mesma posição que na primeira semana. Assinale a alternativa que apresenta de quantas maneiras Gael pode reorganizar as matérias na segunda semana.

Gael está se preparando para um simulado de ciências exatas. Ele decidiu estudar 4 horas por semana, dedicando 1 hora para cada uma das seguintes matérias: Biologia, Física, Química. Na primeira semana, ele estudou todos os dias na mesma ordem fixa. Na segunda semana, ele decidiu seguir outra ordem fixa, mas com a condição de que nenhuma matéria ocupasse a mesma posição que na primeira semana. Assinale a alternativa que apresenta de quantas maneiras Gael pode reorganizar as matérias na segunda semana.

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Marlon

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10/12/24

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender que Gael estudou quatro matérias em uma ordem fixa na primeira semana. Na segunda semana, ele deve reorganizar as matérias de modo que nenhuma ocupe a mesma posição que ocupava na primeira semana. Isso é um problema de permutação com restrição, conhecido como permutação derangement.

O número de derangements ($!n$) de $n$ itens é dado pela fórmula:

$$
!n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}
$$

Para 4 matérias, o cálculo seria:

$$
!4 = 4! \left(\frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!}\right)
$$

Calculando cada termo:

- $4! = 24$
- $\frac{(-1)^0}{0!} = 1$
- $\frac{(-1)^1}{1!} = -1$
- $\frac{(-1)^2}{2!} = \frac{1}{2}$
- $\frac{(-1)^3}{3!} = -\frac{1}{6}$
- $\frac{(-1)^4}{4!} = \frac{1}{24}$

Somando esses termos:

$$
1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
$$

Multiplicando pelo fatorial de 4:

$$
!4 = 24 \times \frac{3}{8} = 9
$$

Portanto, Gael pode reorganizar as matérias de **9** maneiras diferentes na segunda semana, respeitando a condição dada.