II. $\int x \cos 5x \ dx = \frac{-x}{5} \operatorname{sen} 5x + \frac{}{}\frac{\cos 5x}{25} + C$
III. $\int (x^2 + 2x) \cos x \ dx = (x^2 + 2x) \operatorname{sen} x + C$

É correto o que se afirma em:

Question

II. $\int x \cos 5x \ dx = \frac{-x}{5} \operatorname{sen} 5x + \frac{}{}\frac{\cos 5x}{25} + C$
III. $\int (x^2 + 2x) \cos x \ dx = (x^2 + 2x) \operatorname{sen} x + C$

É correto o que se afirma em:

Accepted Answer

Vamos analisar as integrais apresentadas para determinar quais afirmações estão corretas.

**II.** $\int x \cos(5x) \, dx = -\frac{x}{5} \sin(5x) + \frac{1}{25} \cos(5x) + C$

Para verificar essa integral, podemos usar integração por partes. Seja $u = x$ e $dv = \cos(5x) \, dx$. Então, $du = dx$ e $v = \frac{1}{5} \sin(5x)$.

Usando a fórmula de integração por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, temos:

$\int x \cos(5x) \, dx = x \cdot \frac{1}{5} \sin(5x) - \int \frac{1}{5} \sin(5x) \, dx$
$= \frac{x}{5} \sin(5x) - \frac{1}{5} \int \sin(5x) \, dx$
$= \frac{x}{5} \sin(5x) - \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{5} \cos(5x) \right) + C$
$= \frac{x}{5} \sin(5x) + \frac{1}{25} \cos(5x) + C$

Comparando com a integral dada, $-\frac{x}{5} \sin(5x) + \frac{1}{25} \cos(5x) + C$, vemos que há um sinal incorreto no primeiro termo. Portanto, a afirmação II está incorreta.

**III.** $\int (x^2 + 2x) \cos(x) \, dx = (x^2 + 2x) \sin(x) + C$

Para verificar essa integral, podemos derivar o lado direito e ver se obtemos o integrando:

$\frac{d}{dx} [(x^2 + 2x) \sin(x) + C] = (2x + 2) \sin(x) + (x^2 + 2x) \cos(x)$

Isso não é igual a $(x^2 + 2x) \cos(x)$. Portanto, a afirmação III está incorreta.

Em resumo:

*   A afirmação II está incorreta.
*   A afirmação III está incorreta.

Portanto, nenhuma das afirmações está correta.

II. $\int x \cos 5x \ dx = \frac{-x}{5} \operatorname{sen} 5...

II. $\int x \cos 5x \ dx = \frac{-x}{5} \operatorname{sen} 5x + \frac{}{}\frac{\cos 5x}{25} + C$ III. $\int (x^2 + 2x) \cos x \ dx = (x^2 + 2x) \operatorname{sen} x + C$

É correto o que se afirma em:

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