Im anel circular, de raio R, foi homogeneamente carregado com carga total Q. Calcule seu campo elétrico na ireção axial z, no centro do anel.

Question

Accepted Answer

Para calcular o campo elétrico gerado por um anel circular carregado no eixo axial, começamos considerando um elemento infinitesimal de carga $dq$ no anel.

Vamos definir:
- $R$ como o raio do anel.
- $Q$ como a carga total distribuída uniformemente ao longo do anel.
- $z$ como a distância do ponto de interesse (no eixo axial) ao centro do anel.

A densidade linear de carga $\lambda$ é dada por:
$$
\lambda = \frac{Q}{2\pi R}
$$

Considere um elemento infinitesimal de carga $dq = \lambda d\theta R$, onde $d\theta$ é o ângulo infinitesimal.

O campo elétrico devido a esse elemento de carga $dq$ em um ponto ao longo do eixo $z$ tem uma componente radial que se cancela devido à simetria do problema. Portanto, apenas as componentes ao longo do eixo $z$ contribuem para o campo elétrico resultante.

A distância do elemento de carga ao ponto no eixo $z$ é:
$$
r = \sqrt{R^2 + z^2}
$$

A contribuição infinitesimal para o campo elétrico $dE$ na direção $z$ é dada por:
$$
dE_z = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq \cdot z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}
$$

Substituindo $dq$:
$$
dE_z = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda R d\theta \cdot z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}
$$

Integrando $dE_z$ ao longo de todo o anel (de $0$ a $2\pi$):
$$
E_z = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda R z d\theta}{(R^2 + z^2)^{3/2}}
$$

Como $\lambda$, $R$, $z$, e $(R^2 + z^2)$ são constantes:
$$
E_z = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda R z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} d\theta
$$

$$
E_z = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda R z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \cdot 2\pi
$$

Substituindo $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$:
$$
E_z = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\left(\frac{Q}{2\pi R}\right) R z \cdot 2\pi}{(R^2 + z^2)^{3/2}}
$$

Simplificando:
$$
E_z = \frac{Q z}{4\pi \epsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}}
$$

No centro do anel ($z = 0$):
$$
E_z = \frac{Q \cdot 0}{4\pi \epsilon_0 (R^2 + 0^2)^{3/2}} = 0
$$

Portanto, o campo elétrico no centro do anel é:
$$
\boxed{0}
$$

Im anel circular, de raio R, foi homogeneamente carregado co...

Im anel circular, de raio R, foi homogeneamente carregado com carga total Q. Calcule seu campo elétrico na ireção axial z, no centro do anel.

Ask a question and receive an answer instantly