Imagine que você é um Agrônomo que desenvolveu dois compostos de nutrientes diferentes e gostaria de testar o efeito de ambos em suas plantações. Para isso, você plantou algumas árvores, usando os diferentes compostos, e avaliou o efeito de cada um no crescimento dessas plantas. Você observou o crescimento durante 2 anos e anotou os dados em uma tabela.

Neste gráfico, você pode observar, para cada um dos dois compostos, a altura média das árvores em relação ao tempo.

altura (m)
10
8
6
4
2
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
tempo (ano)
Composto 1 Composto 2

Suponha que as funções que definem essas curvas sejam dadas por:
y1(t) = t^2 + 6
y2(t) = 2t^2 + 1

a) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 1.5 ano?
b) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 3 anos?
c) Qual a taxa de crescimento dessas árvores em 1.5 e 3 anos?
d) Baseado nos dados encontrados, qual composto nutricional você diria que é melhor para a plantação?

Question

Imagine que você é um Agrônomo que desenvolveu dois compostos de nutrientes diferentes e gostaria de testar o efeito de ambos em suas plantações. Para isso, você plantou algumas árvores, usando os diferentes compostos, e avaliou o efeito de cada um no crescimento dessas plantas. Você observou o crescimento durante 2 anos e anotou os dados em uma tabela.

Neste gráfico, você pode observar, para cada um dos dois compostos, a altura média das árvores em relação ao tempo.

altura (m)
10
8
6
4
2
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
tempo (ano)
Composto 1 Composto 2

Suponha que as funções que definem essas curvas sejam dadas por:
y1(t) = t^2 + 6
y2(t) = 2t^2 + 1

a) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 1.5 ano?
b) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 3 anos?
c) Qual a taxa de crescimento dessas árvores em 1.5 e 3 anos?
d) Baseado nos dados encontrados, qual composto nutricional você diria que é melhor para a plantação?

Accepted Answer

Para resolver as questões apresentadas, vamos usar as funções fornecidas no enunciado:

- Para o **Composto 1**: $ y_1(t) = t^2 + 6 $
- Para o **Composto 2**: $ y_2(t) = 2t^2 + 1 $

### a) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 1,5 ano?

Substituímos $ t = 1,5 $ nas duas funções:

1. Para o **Composto 1**:
$$
y_1(1,5) = (1,5)^2 + 6 = 2,25 + 6 = 8,25 \, \text{m}
$$

2. Para o **Composto 2**:
$$
y_2(1,5) = 2(1,5)^2 + 1 = 2(2,25) + 1 = 4,5 + 1 = 5,5 \, \text{m}
$$

**Resposta da letra a:**  
- Composto 1: $ 8,25 \, \text{m} $  
- Composto 2: $ 5,5 \, \text{m} $

---

### b) Qual a altura das árvores, para cada um dos dois compostos, depois de 3 anos?

Substituímos $ t = 3 $ nas duas funções:

1. Para o **Composto 1**:
$$
y_1(3) = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \, \text{m}
$$

2. Para o **Composto 2**:
$$
y_2(3) = 2(3^2) + 1 = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19 \, \text{m}
$$

**Resposta da letra b:**  
- Composto 1: $ 15 \, \text{m} $  
- Composto 2: $ 19 \, \text{m} $

---

### c) Qual a taxa de crescimento dessas árvores em 1,5 e 3 anos?

A taxa de crescimento é dada pela derivada das funções em relação ao tempo $ t $. Calculamos as derivadas:

- Para o **Composto 1**: $ y_1'(t) = 2t $
- Para o **Composto 2**: $ y_2'(t) = 4t $

Agora calculamos as taxas para $ t = 1,5 $ e $ t = 3 $:

1. **Composto 1**:
   - Para $ t = 1,5 $: $ y_1'(1,5) = 2(1,5) = 3 \, \text{m/ano} $
   - Para $ t = 3 $: $ y_1'(3) = 2(3) = 6 \, \text{m/ano} $

2. **Composto 2**:
   - Para $ t = 1,5 $: $ y_2'(1,5) = 4(1,5) = 6 \, \text{m/ano} $
   - Para $ t = 3 $: $ y_2'(3) = 4(3) = 12 \, \text{m/ano} $

**Resposta da letra c:**  
- Composto 1: $ 3 \, \text{m/ano} $ (em $ t = 1,5 $) e $ 6 \, \text{m/ano} $ (em $ t = 3 $)  
- Composto 2: $ 6 \, \text{m/ano} $ (em $ t = 1,5 $) e $ 12 \, \text{m/ano} $ (em $ t = 3 $)

---

### d) Baseado nos dados encontrados, qual composto nutricional você diria que é melhor para a plantação?

- O **Composto 1** apresenta um crescimento mais lento inicialmente, mas é mais estável.
- O **Composto 2** apresenta um crescimento mais rápido, especialmente em tempos maiores ($ t = 3 $).

Se o objetivo for crescimento mais rápido, o **Composto 2** é mais eficiente. Porém, se for necessário um crescimento mais controlado e estável, o **Composto 1** pode ser mais indicado.

**Resposta da letra d:** Depende do objetivo. Para crescimento rápido, escolha o **Composto 2**; para estabilidade, escolha o **Composto 1**.

Imagine que você é um Agrônomo que desenvolveu dois composto...

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