Intregal de cossecante de x

Q: Intregal de cossecante de x

Para calcular a integral da função cossecante de $ x $, ou seja, $\int \csc(x) \, dx$, podemos usar uma técnica de integração que envolve multiplicar e dividir por uma expressão conveniente. Vamos resolver passo a passo: 1. Observe que $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$. 2. Multiplicamos e dividimos a integral por $(\csc(x) + \cot(x))$, o que nos dá: \[ \int \csc(x) \, dx = \int \frac{\csc(x)(\csc(x) + \cot(x))}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx \] 3. Isto pode ser reescrito como: \[ \int \frac{\csc^2(x) + \csc(x)\cot(x)}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx \] 4. Agora, deixamos $ u = \csc(x) + \cot(x) $. Portanto, a derivada $ du $ é: \[ du = (-\csc(x)\cot(x) - \csc^2(x)) \, dx \] Note que isso é exatamente o numerador da nossa expressão. 5. Assim, a integral se transforma em: \[ \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C \] 6. Substituindo $ u = \csc(x) + \cot(x) $ de volta, obtemos: \[ -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \] Portanto, a integral de $\csc(x)$ é: \[ \int \csc(x) \, dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \] onde $ C $ é a constante de integração.

Question

Accepted Answer

Para calcular a integral da função cossecante de $ x $, ou seja, $\int \csc(x) \, dx$, podemos usar uma técnica de integração que envolve multiplicar e dividir por uma expressão conveniente. Vamos resolver passo a passo:

1. Observe que $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$.

2. Multiplicamos e dividimos a integral por $(\csc(x) + \cot(x))$, o que nos dá:

$$
   \int \csc(x) \, dx = \int \frac{\csc(x)(\csc(x) + \cot(x))}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx
   $$

3. Isto pode ser reescrito como:

$$
   \int \frac{\csc^2(x) + \csc(x)\cot(x)}{\csc(x) + \cot(x)} \, dx
   $$

4. Agora, deixamos $ u = \csc(x) + \cot(x) $. Portanto, a derivada $ du $ é:

$$
   du = (-\csc(x)\cot(x) - \csc^2(x)) \, dx
   $$

Note que isso é exatamente o numerador da nossa expressão.

5. Assim, a integral se transforma em:

$$
   \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C
   $$

6. Substituindo $ u = \csc(x) + \cot(x) $ de volta, obtemos:

$$
   -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C
   $$

Portanto, a integral de $\csc(x)$ é:

$$
\int \csc(x) \, dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C
$$

onde $ C $ é a constante de integração.