(ITA) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos seguir os passos abaixo:

1. **Calcular o total de números inteiros entre 1000 e 10000:**

O intervalo é de 1000 a 9999 (incluindo ambos), então temos:
   $$
   9999 - 1000 + 1 = 9000
   $$

2. **Calcular quantos desses números são divisíveis por 5:**

Um número é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. Vamos encontrar o primeiro e o último múltiplo de 5 nesse intervalo.

- Primeiro múltiplo de 5 ≥ 1000 é 1000.
   - Último múltiplo de 5 ≤ 9999 é 9995.

Para encontrar a quantidade de múltiplos de 5, usamos a fórmula do termo geral da progressão aritmética:
   $$
   a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
   $$
   onde $a_n = 9995$, $a_1 = 1000$, e $d = 5$.

Resolvendo para $n$:
   $$
   9995 = 1000 + (n-1) \cdot 5
   $$
   $$
   9995 - 1000 = (n-1) \cdot 5
   $$
   $$
   8995 = (n-1) \cdot 5
   $$
   $$
   n-1 = \frac{8995}{5}
   $$
   $$
   n-1 = 1799 \Rightarrow n = 1800
   $$

3. **Calcular quantos desses números são divisíveis por 7:**

- Primeiro múltiplo de 7 ≥ 1000 é 1001.
   - Último múltiplo de 7 ≤ 9999 é 9996.

Novamente, usando a fórmula do termo geral da progressão aritmética:
   $$
   a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
   $$
   onde $a_n = 9996$, $a_1 = 1001$, e $d = 7$.

Resolvendo para $n$:
   $$
   9996 = 1001 + (n-1) \cdot 7
   $$
   $$
   9996 - 1001 = (n-1) \cdot 7
   $$
   $$
   8995 = (n-1) \cdot 7
   $$
   $$
   n-1 = \frac{8995}{7}
   $$
   $$
   n-1 = 1285 \Rightarrow n = 1286
   $$

4. **Calcular quantos desses números são divisíveis por 35 (múltiplos comuns de 5 e 7):**

- Primeiro múltiplo de 35 ≥ 1000 é 1015.
   - Último múltiplo de 35 ≤ 9999 é 9975.

Usando a mesma fórmula:
   $$
   a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
   $$
   onde $a_n = 9975$, $a_1 = 1015$, e $d = 35$.

Resolvendo para $n$:
   $$
   9975 = 1015 + (n-1) \cdot 35
   $$
   $$
   9975 - 1015 = (n-1) \cdot 35
   $$
   $$
   8960 = (n-1) \cdot 35
   $$
   $$
   n-1 = \frac{8960}{35}
   $$
   $$
   n-1 = 256 \Rightarrow n = 257
   $$

5. **Aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão:**

Número de inteiros divisíveis por 5 ou 7:
   $$
   |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
   $$
   $$
   |A \cup B| = 1800 + 1286 - 257 = 2829
   $$

6. **Calcular o número de inteiros que não são divisíveis nem por 5 nem por 7:**

$$
   9000 - 2829 = 6171
   $$

Portanto, existem **6171** números inteiros entre 1000 e 10000 que não são divisíveis nem por 5 nem por 7.

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(ITA) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?

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