(ITA-SP-1978) Se, numa esfera de raio R, circunscrevemos um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base, então a expressão do volume desse cone, em função do raio da esfera, é dada por
A. 3πR³.
B. $\frac{3\sqrt{3}}{2} πR³.$
C. $3\sqrt{3}πR³.$
D. $\frac{4\sqrt{3}}{3} πR³.$
E. N.d.a.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar o volume do cone em função do raio $ R $ da esfera.

1. **Dados do problema:**
   - Raio da esfera: $ R $
   - Geratriz do cone: $ 2R $ (igual ao diâmetro da base)
   - O cone é circunscrito na esfera, logo a altura do cone será $ \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}R $.

2. **Volume do cone:**
   A fórmula para o volume $ V $ de um cone é:

$$
   V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
   $$

Onde:
   - $ r $ é o raio da base do cone.
   - $ h $ é a altura do cone.

3. **Cálculo:**
   - O raio da base do cone é $ R $.
   - A altura do cone é $ \sqrt{3}R $.

Substituindo na fórmula do volume:

$$
   V = \frac{1}{3} \pi R^2 (\sqrt{3}R) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi R^3
   $$

Simplificando, temos:

$$
   V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \pi R^3
   $$

**Resposta: B**

$$
\frac{3\sqrt{3}}{2} \pi R^3
$$

(ITA-SP-1978) Se, numa esfera de raio R, circunscrevemos um ...

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