João investiu R$ 1200, 00 em um fundo cuja rentabilidade é de 2% ao mês. Determine, resolvendo passo a passo:

Dado: M=C.(1+i)t

a) Quanto terá ao final de 12 meses?

b) Quanto tempo aproximadamente será necessário para que acumule R$ 2400, 00?

c) Esboce o gráfico da função mostrando a evolução do investimento ao longo do tempo.

Obs. Para execução da atividade c, usar t = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60....

Question

João investiu R$ 1200, 00 em um fundo cuja rentabilidade é de 2% ao mês. Determine, resolvendo passo a passo:

Dado: M=C.(1+i)t

a) Quanto terá ao final de 12 meses?

b) Quanto tempo aproximadamente será necessário para que acumule R$ 2400, 00?

c) Esboce o gráfico da função mostrando a evolução do investimento ao longo do tempo.

 

Obs. Para execução da atividade c, usar t = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60....

Accepted Answer

Para resolver os problemas propostos, vamos usar a fórmula do montante em juros compostos:

$$ M = C \cdot (1 + i)^t $$

onde:
- $ M $ é o montante final,
- $ C $ é o capital inicial,
- $ i $ é a taxa de juros,
- $ t $ é o tempo em meses.

### a) Quanto terá ao final de 12 meses?

Dados:
- $ C = 1200 $
- $ i = 0,02 $ (2% ao mês)
- $ t = 12 $

Substituindo na fórmula:

$$ M = 1200 \cdot (1 + 0,02)^{12} $$

$$ M = 1200 \cdot (1,02)^{12} $$

Calculando:

$$ M = 1200 \cdot 1,26824 \approx 1521,89 $$

**Resposta:** João terá aproximadamente R$ 1521,89 ao final de 12 meses.

### b) Quanto tempo aproximadamente será necessário para que acumule R$ 2400,00?

Agora queremos encontrar $ t $ tal que:

$$ 2400 = 1200 \cdot (1,02)^t $$

Dividindo ambos os lados por 1200:

$$ 2 = (1,02)^t $$

Para resolver essa equação, usamos logaritmos:

$$ \log(2) = t \cdot \log(1,02) $$

$$ t = \frac{\log(2)}{\log(1,02)} $$

Calculando:

$$ t \approx \frac{0,3010}{0,0086} \approx 35,00 $$

**Resposta:** Aproximadamente 35 meses serão necessários para acumular R$ 2400,00.

### c) Esboce o gráfico da função mostrando a evolução do investimento ao longo do tempo.

Para esboçar o gráfico, calculamos o montante em intervalos de 10 meses até 60 meses.

1. $ t = 0 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^0 = 1200 $
2. $ t = 10 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^{10} \approx 1463,84 $
3. $ t = 20 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^{20} \approx 1785,85 $
4. $ t = 30 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^{30} \approx 2178,47 $
5. $ t = 40 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^{40} \approx 2658,92 $
6. $ t = 50 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^{50} \approx 3248,78 $
7. $ t = 60 $: $ M = 1200 \cdot (1,02)^{60} \approx 3964,99 $

Com esses valores, podemos desenhar um gráfico onde o eixo x representa o tempo em meses e o eixo y representa o montante acumulado. A curva será exponencial, mostrando o crescimento do investimento ao longo do tempo.

João investiu R$ 1200, 00 em um fundo cuja rentabilidade é d...

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