Luz proveniente de uma fonte pontual e isotrópica, que emite radiação apenas para a região a sua frente, incide em uma esfera metálica muito pequena, de diâmetro 2.05 mm. A esfera se encontra a 21.5 cm da fonte de luz e sua superfície pode ser considerada como perfeitamente refletora. Suponha que o valor máximo do campo magnético da onda que atinge a esfera é 7.96×10-5 T. Caso necessário, utilize g = 10 m/s2. Pedem-se, no S.I.:

1. Determine a potência com que a fonte está emitindo radiação.
(Resposta em W.)

2. Calcule a pressão exercida pela radiação sobre a esfera.
(Resposta em Pa)

3. Supondo que esta luz seja utilizada como "pinça óptica" para aprisionar a esfera, qual seria sua massa? (Neste caso, a força peso seria equilibrada pela força exercida pela radiação).
(Resposta em kg.)

Question

Luz proveniente de uma fonte pontual e isotrópica, que emite radiação apenas para a região a sua frente, incide em uma esfera metálica muito pequena, de diâmetro 2.05 mm. A esfera se encontra a 21.5 cm da fonte de luz e sua superfície pode ser considerada como perfeitamente refletora. Suponha que o valor máximo do campo magnético da onda que atinge a esfera é 7.96×10-5 T. Caso necessário, utilize g = 10 m/s2. Pedem-se, no S.I.:

1. Determine a potência com que a fonte está emitindo radiação.
(Resposta em  W.)
 

2. Calcule a pressão exercida pela radiação sobre a esfera.
(Resposta em Pa)
 

3. Supondo que esta luz seja utilizada como "pinça óptica" para aprisionar a esfera, qual seria sua massa? (Neste caso, a força peso seria equilibrada pela força exercida pela radiação).
(Resposta em kg.)

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos abordar cada parte separadamente.

### 1. Potência da fonte de radiação

A intensidade $ I $ de uma onda eletromagnética é dada por:

$$ I = \frac{c \cdot B^2}{2 \cdot \mu_0} $$

onde:
- $ c $ é a velocidade da luz no vácuo ($3 \times 10^8 \, \text{m/s}$),
- $ B $ é o valor máximo do campo magnético ($7.96 \times 10^{-5} \, \text{T}$),
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}$).

Substituindo os valores:

$$ I = \frac{3 \times 10^8 \cdot (7.96 \times 10^{-5})^2}{2 \cdot 4\pi \times 10^{-7}} $$

Calculando:

$$ I \approx \frac{3 \times 10^8 \cdot 6.33616 \times 10^{-9}}{2 \cdot 4\pi \times 10^{-7}} $$

$$ I \approx \frac{1.900848 \times 10^{-9}}{2 \cdot 4\pi \times 10^{-7}} $$

$$ I \approx 378.06 \, \text{W/m}^2 $$

A potência total $ P $ emitida pela fonte pontual é dada por:

$$ P = I \cdot 4\pi r^2 $$

onde $ r = 0.215 \, \text{m} $.

$$ P = 378.06 \cdot 4\pi \cdot (0.215)^2 $$

$$ P \approx 378.06 \cdot 4\pi \cdot 0.046225 $$

$$ P \approx 219.39 \, \text{W} $$

### 2. Pressão exercida pela radiação sobre a esfera

A pressão $ P_{\text{rad}} $ exercida pela radiação em uma superfície perfeitamente refletora é dada por:

$$ P_{\text{rad}} = \frac{2I}{c} $$

Substituindo o valor de $ I $:

$$ P_{\text{rad}} = \frac{2 \cdot 378.06}{3 \times 10^8} $$

$$ P_{\text{rad}} \approx 2.5204 \times 10^{-6} \, \text{Pa} $$

### 3. Massa da esfera para equilíbrio de forças

A força exercida pela radiação $ F_{\text{rad}} $ é igual à pressão vezes a área da seção transversal da esfera:

$$ F_{\text{rad}} = P_{\text{rad}} \cdot A $$

A área $ A $ é:

$$ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 $$

onde $ d = 2.05 \times 10^{-3} \, \text{m} $.

$$ A = \pi \left(\frac{2.05 \times 10^{-3}}{2}\right)^2 $$

$$ A \approx 3.30 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 $$

$$ F_{\text{rad}} = 2.5204 \times 10^{-6} \cdot 3.30 \times 10^{-6} $$

$$ F_{\text{rad}} \approx 8.31732 \times 10^{-12} \, \text{N} $$

Para equilibrar a força peso $ F_g = m \cdot g $, temos:

$$ m \cdot g = F_{\text{rad}} $$

$$ m = \frac{F_{\text{rad}}}{g} $$

$$ m = \frac{8.31732 \times 10^{-12}}{10} $$

$$ m \approx 8.32 \times 10^{-13} \, \text{kg} $$

Portanto, as respostas são:

1. **Potência da fonte:** $ \approx 219.39 \, \text{W} $
2. **Pressão exercida pela radiação:** $ \approx 2.5204 \times 10^{-6} \, \text{Pa} $
3. **Massa da esfera:** $ \approx 8.32 \times 10^{-13} \, \text{kg} $