m e n nos triângulos retângulos:
b $m=?$ $n=?$

$3\sqrt{7}$

$m$
$n$
16

Question

m e n nos triângulos retângulos:
b $m=?$ $n=?$

$3\sqrt{7}$

$m$
$n$
16

Accepted Answer

Aqui estão os passos para resolver o problema:

1. **Identificar as relações métricas no triângulo retângulo:**

Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos menores semelhantes ao triângulo original e semelhantes entre si. Isso nos permite usar relações métricas para encontrar os valores de *m* e *n*.

2. **Usar a relação métrica da altura:**

A altura (h) relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos na hipotenusa. Matematicamente:

$$h^2 = m \cdot n$$

No nosso caso, $h = 3\sqrt{7}$, então:

$$(3\sqrt{7})^2 = m \cdot n$$
   $$9 \cdot 7 = m \cdot n$$
   $$63 = m \cdot n$$

3. **Usar a relação métrica do cateto:**

Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa inteira e sua projeção na hipotenusa. A hipotenusa inteira é $m + n$, e temos:

$$m + n = 16$$

4. **Resolver o sistema de equações:**

Temos duas equações:

1.  $m \cdot n = 63$
   2.  $m + n = 16$

Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de *m* e *n*. Uma maneira é isolar uma variável em uma equação e substituir na outra. Por exemplo, isolando *m* na segunda equação:

$$m = 16 - n$$

Substituindo na primeira equação:

$$(16 - n) \cdot n = 63$$
   $$16n - n^2 = 63$$
   $$n^2 - 16n + 63 = 0$$

5. **Resolver a equação quadrática:**

Agora temos uma equação quadrática em termos de *n*. Podemos resolvê-la usando a fórmula quadrática:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Onde $a = 1$, $b = -16$ e $c = 63$.

$$n = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$$
   $$n = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$$
   $$n = \frac{16 \pm \sqrt{4}}{2}$$
   $$n = \frac{16 \pm 2}{2}$$

Isso nos dá duas soluções para *n*:

$$n_1 = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
   $$n_2 = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

6. **Encontrar os valores correspondentes de *m*:**

Para $n = 9$:

$$m = 16 - n = 16 - 9 = 7$$

Para $n = 7$:

$$m = 16 - n = 16 - 7 = 9$$

Portanto, temos duas soluções possíveis: $(m, n) = (7, 9)$ ou $(m, n) = (9, 7)$.

Assim, uma possível solução é $m = 9$ e $n = 7$.

m e n nos triângulos retângulos: b $m=?$ $n=?$ $3\sqrt{7}$...

m e n nos triângulos retângulos: b $m=?$ $n=?$

$3\sqrt{7}$

$m$ $n$ 16

Ask a question and receive an answer instantly

m e n nos triângulos retângulos: b $m=?$ $n=?$ $3\sqrt{7}$...

m e n nos triângulos retângulos: b m=?m=?m=? n=?n=?n=? 373\sqrt{7}37​ mmm nnn 16

Ask a question and receive an answer instantly

m e n nos triângulos retângulos: b $m=?$ $n=?$

$3\sqrt{7}$

$m$ $n$ 16