Marque a alternativa correta em relação às séries Σ∞
1 (8n²+5)/(1+16n²)ⁿ
A Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
B É divergente.
C É condicionalmente convergente.
D É convergente, porém não é absolutamente convergente.
E É absolutamente convergente.

Q: Marque a alternativa correta em relação às séries Σ∞ 1 (8n²+5)/(1+16n²)ⁿ A Nada se pode concluir quanto à sua convergência. B É divergente. C É condicionalmente convergente. D É convergente, porém não é absolutamente convergente. E É absolutamente convergente.

Para determinar a convergência da série $\sum_{1}^{\infty} \left( \frac{8n^2 + 5}{1 + 16n^2} \right)^n$, podemos usar o teste da razão ou o teste da raiz. Primeiro, vamos simplificar a expressão: \[ a_n = \left( \frac{8n^2 + 5}{1 + 16n^2} \right)^n \] Para grandes valores de $n$, o termo dominante no numerador é $8n^2$ e no denominador é $16n^2$. Assim, a fração se aproxima de: \[ \frac{8n^2}{16n^2} = \frac{1}{2} \] Portanto, para $n$ grande, temos: \[ a_n \approx \left( \frac{1}{2} \right)^n \] A série $\sum_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n$ é uma série geométrica com razão $r = \frac{1}{2}$, que é convergente. Assim, a série original também é convergente e absolutamente convergente. **Resposta: E** A série é absolutamente convergente.

Question

Accepted Answer

Para determinar a convergência da série $\sum_{1}^{\infty} \left( \frac{8n^2 + 5}{1 + 16n^2} \right)^n$, podemos usar o teste da razão ou o teste da raiz.

Primeiro, vamos simplificar a expressão:

$$
a_n = \left( \frac{8n^2 + 5}{1 + 16n^2} \right)^n
$$

Para grandes valores de $n$, o termo dominante no numerador é $8n^2$ e no denominador é $16n^2$. Assim, a fração se aproxima de:

$$
\frac{8n^2}{16n^2} = \frac{1}{2}
$$

Portanto, para $n$ grande, temos:

$$
a_n \approx \left( \frac{1}{2} \right)^n
$$

A série $\sum_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n$ é uma série geométrica com razão $r = \frac{1}{2}$, que é convergente.

Assim, a série original também é convergente e absolutamente convergente.

**Resposta: E**

A série é absolutamente convergente.

Marque a alternativa correta em relação às séries Σ∞ 1 (8n²+5)/(1+16n²)ⁿ A Nada se pode concluir quanto à sua convergência. B É divergente. C É condicionalmente convergente. D É convergente, porém não é absolutamente convergente. E É absolutamente convergente.

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