MATEMÁTICA
31 Os números reais x e y são tais que
1/x + 1/y = 5 e 1/(x*y) = 6.
Para tais x e y, |x - y| é igual a:
(A) 1/6
(B) 1/3
(C) 2/3
(D) 1

Q: MATEMÁTICA 31 Os números reais x e y são tais que 1/x + 1/y = 5 e 1/(x*y) = 6. Para tais x e y, |x - y| é igual a: (A) 1/6 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 1

Para resolver o problema, temos as equações: 1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$ 2. $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = 6$ Podemos reescrever a primeira equação como: \[ \frac{x+y}{xy} = 5 \implies x+y = 5xy \] E a segunda equação como: \[ \frac{1}{xy} = 6 \implies xy = \frac{1}{6} \] Substituindo $xy = \frac{1}{6}$ na equação $x+y = 5xy$, temos: \[ x+y = 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] Agora, precisamos encontrar $|x-y|$. Sabemos que: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ e $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Podemos usar essas expressões para encontrar $(x-y)^2$: \[ (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy \] Substituindo os valores conhecidos: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^2 - (x-y)^2 = 4 \cdot \frac{1}{6} \] \[ \frac{25}{36} - (x-y)^2 = \frac{2}{3} \] \[ (x-y)^2 = \frac{25}{36} - \frac{24}{36} = \frac{1}{36} \] Portanto, $|x-y| = \frac{1}{6}$. **Resposta: A**

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, temos as equações:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$
2. $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = 6$

Podemos reescrever a primeira equação como:

$$
\frac{x+y}{xy} = 5 \implies x+y = 5xy
$$

E a segunda equação como:

$$
\frac{1}{xy} = 6 \implies xy = \frac{1}{6}
$$

Substituindo $xy = \frac{1}{6}$ na equação $x+y = 5xy$, temos:

$$
x+y = 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
$$

Agora, precisamos encontrar $|x-y|$.

Sabemos que:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

e

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Podemos usar essas expressões para encontrar $(x-y)^2$:

$$
(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
\left(\frac{5}{6}\right)^2 - (x-y)^2 = 4 \cdot \frac{1}{6}
$$

$$
\frac{25}{36} - (x-y)^2 = \frac{2}{3}
$$

$$
(x-y)^2 = \frac{25}{36} - \frac{24}{36} = \frac{1}{36}
$$

Portanto, $|x-y| = \frac{1}{6}$.

**Resposta: A**

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MATEMÁTICA 31 Os números reais x e y são tais que 1/x + 1/y = 5 e 1/(x*y) = 6. Para tais x e y, |x - y| é igual a: (A) 1/6 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 1

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