Matemática financeira

1. Quatro pessoas querem trocar presentes. O nome de cada pessoa é escrito em um papelzinho e colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas sorteia um papelzinho para saber quem ela irá presentear. A chance de as quatro pessoas sortearem seus próprios nomes é:

1 em 3

1 em 4

2 em 7

1 em 8

Question

Matemática financeira

1. Quatro pessoas querem trocar presentes. O nome de cada pessoa é escrito em um papelzinho e colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas sorteia um papelzinho para saber quem ela irá presentear. A chance de as quatro pessoas sortearem seus próprios nomes é:

1 em 3

1 em 4

2 em 7

1 em 8

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de que todas as quatro pessoas sorteiem seus próprios nomes. Isso é um exemplo de permutação onde nenhuma pessoa deve receber seu próprio papelzinho, ou seja, estamos lidando com um problema de "derangement" ou permutação sem pontos fixos.

Para 4 pessoas, o número de derangements ($!n$) é dado pela fórmula:

$$
!n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}
$$

Para $n = 4$:

$$
!4 = 4! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} \right)
$$

Calculando isso:

$$
!4 = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 24 \times \frac{9}{24} = 9
$$

O total de permutações possíveis é $4! = 24$.

Assim, a probabilidade de todas as quatro pessoas sortearam seus próprios nomes é:

$$
\frac{1}{24}
$$

Portanto, a chance de as quatro pessoas sortearem seus próprios nomes é de **1 em 24**, mas essa opção não está disponível. A questão pode ter sido formulada incorretamente ou as opções estão erradas.

Perguntas relacionadas