Me explique como calcular uma matriz 3x3 inversa

Question

Accepted Answer

Para calcular a inversa de uma matriz 3x3, você pode seguir os seguintes passos:

1.  **Calcular o determinante da matriz:**

Seja a matriz A dada por:

$$
    A = \begin{bmatrix}
    a & b & c \
    d & e & f \
    g & h & i
    \end{bmatrix}
    $$

O determinante de A, denotado por det(A) ou |A|, é calculado como:

$$
    \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
    $$

Se o determinante for igual a zero, a matriz não tem inversa.

2.  **Calcular a matriz dos cofatores:**

A matriz dos cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator do elemento correspondente na matriz original. O cofator de um elemento $a_{ij}$ é dado por:

$$
    C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
    $$

Onde $M_{ij}$ é o menor, que é o determinante da submatriz obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz original.

Para a matriz A, a matriz dos cofatores C é:

$$
    C = \begin{bmatrix}
    +(ei - fh) & -(di - fg) & +(dh - eg) \
    -(bi - ch) & +(ai - cg) & -(ah - bg) \
    +(bf - ce) & -(af - cd) & +(ae - bd)
    \end{bmatrix}
    $$

3.  **Calcular a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores):**

A matriz adjunta, adj(A), é a transposta da matriz dos cofatores. Isso significa que as linhas se tornam colunas e as colunas se tornam linhas.

$$
    	ext{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}
    ei - fh & -(bi - ch) & bf - ce \
    -(di - fg) & ai - cg & -(af - cd) \
    dh - eg & -(ah - bg) & ae - bd
    \end{bmatrix}
    $$

4.  **Calcular a matriz inversa:**

A inversa da matriz A, denotada por $A^{-1}$, é calculada dividindo a matriz adjunta pelo determinante de A:

$$
    A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} 	ext{adj}(A)
    $$

$$
    A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}
    ei - fh & -(bi - ch) & bf - ce \
    -(di - fg) & ai - cg & -(af - cd) \
    dh - eg & -(ah - bg) & ae - bd
    \end{bmatrix}
    $$

**Exemplo:**

Vamos calcular a inversa da seguinte matriz:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 1 & 4 \
5 & 6 & 0
\end{bmatrix}
$$

1.  **Determinante:**

$$
    \det(A) = 1(1\cdot0 - 4\cdot6) - 2(0\cdot0 - 4\cdot5) + 3(0\cdot6 - 1\cdot5) = 1(-24) - 2(-20) + 3(-5) = -24 + 40 - 15 = 1
    $$

2.  **Matriz dos cofatores:**

$$
    C = \begin{bmatrix}
    -24 & 20 & -5 \
    18 & -15 & 4 \
    5 & -4 & 1
    \end{bmatrix}
    $$

3.  **Matriz adjunta:**

$$
    	ext{adj}(A) = \begin{bmatrix}
    -24 & 18 & 5 \
    20 & -15 & -4 \
    -5 & 4 & 1
    \end{bmatrix}
    $$

4.  **Matriz inversa:**

$$
    A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix}
    -24 & 18 & 5 \
    20 & -15 & -4 \
    -5 & 4 & 1
    \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    -24 & 18 & 5 \
    20 & -15 & -4 \
    -5 & 4 & 1
    \end{bmatrix}
    $$

Portanto, a inversa da matriz A é:

$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-24 & 18 & 5 \
20 & -15 & -4 \
-5 & 4 & 1
\end{bmatrix}
$$