Me explique em análise combinatória, a combinação completa através do metodo bola traço
M
Marcelo
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22/04/25

Question

Me explique em análise combinatória, a combinação completa através do metodo bola traço

Accepted Answer

Claro, vou explicar a combinação completa usando o método das bolas e traços.

**Combinação Completa**

A combinação completa, também conhecida como combinação com repetição, é uma forma de contagem que determina o número de maneiras de escolhermos objetos de um conjunto, permitindo que o mesmo objeto seja escolhido múltiplas vezes.

**O Método das Bolas e Traços**

Este método é uma técnica visual que simplifica o cálculo de combinações completas. Imagine que temos *n* objetos idênticos (as "bolas") que queremos distribuir em *k* categorias distintas. Podemos representar essa distribuição usando bolas e traços.

*   As bolas representam os objetos que estamos distribuindo.
*   Os traços representam as divisórias entre as categorias.

**Exemplo Prático**

Suponha que queremos distribuir 5 bolas (n = 5) em 3 categorias (k = 3). Uma possível distribuição poderia ser:

`**|*|**`

Neste exemplo:

*   A primeira categoria recebe 2 bolas.
*   A segunda categoria recebe 1 bola.
*   A terceira categoria recebe 2 bolas.

Outro exemplo:

`||*****`

Neste caso:

*   A primeira categoria recebe 0 bolas.
*   A segunda categoria recebe 0 bolas.
*   A terceira categoria recebe 5 bolas.

**A Fórmula**

Para calcular o número total de combinações completas, precisamos contar o número de maneiras de organizar as bolas e os traços. Precisamos de *n* bolas e *k - 1* traços. Portanto, temos um total de *n + k - 1* posições para preencher.

A fórmula para a combinação completa é:

$C(n + k - 1, n) = \binom{n + k - 1}{n} = \frac{(n + k - 1)!}{n!(k - 1)!}$

Onde:

*   *n* é o número de objetos a serem distribuídos (bolas).
*   *k* é o número de categorias (traços + 1).

**Exemplo Numérico**

Usando o exemplo anterior, onde *n = 5* e *k = 3*:

$C(5 + 3 - 1, 5) = \binom{5 + 3 - 1}{5} = \binom{7}{5} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 	imes 6}{2 	imes 1} = 21$

Isso significa que existem 21 maneiras diferentes de distribuir 5 bolas em 3 categorias.

**Passos para Aplicar o Método**

1.  **Identifique** *n* (número de objetos) e *k* (número de categorias).
2.  **Calcule** *n + k - 1*.
3.  **Use a fórmula** $\binom{n + k - 1}{n}$ para encontrar o número de combinações completas.

Espero que esta explicação detalhada tenha ajudado a entender o método das bolas e traços para combinações completas!