Me prove matematicamente que o 0 e real

Question

Accepted Answer

Para provar matematicamente que o número 0 é real, podemos começar definindo o que significa um número ser real. Os números reais incluem todos os números racionais e irracionais; eles podem ser positivos, negativos ou zero. Eles são definidos como pontos numa reta infinita conhecida como a reta dos números reais.

A existência do número 0 pode ser justificada dentro do contexto dos axiomas dos números reais, particularmente aqueles relacionados à adição.

Os números reais obedecem a várias propriedades importantes, incluindo:

1. **Fechamento**: Para quaisquer dois números reais $a$ e $b$, sua soma $a+b$ também é um número real.
2. **Elemento neutro da adição**: Existe um número real $0$ tal que para qualquer número real $a$, temos $a + 0 = a$.

A propriedade do elemento neutro é crucial aqui. Ela afirma que existe um número real, que chamamos de $0$, que quando adicionado a qualquer número real não altera o valor desse número. Isso não só prova que $0$ é um número real, mas também destaca sua importância na estrutura dos números reais.

Além disso, podemos considerar o conceito de operações inversas. Na adição, para qualquer número real $a$, existe um número real $-a$ (o oposto de $a$) tal que $a + (-a) = 0$. Isso mostra que $0$ é o resultado da adição de um número e seu inverso aditivo, reforçando ainda mais que $0$ é um componente essencial do conjunto dos números reais.

Em resumo, a definição de números reais e suas propriedades fundamentais, como a existência de um elemento neutro da adição, garantem matematicamente que o número $0$ é real.