Mostre que uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em pontos distintos
são paralelos.

Q: Mostre que uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em pontos distintos são paralelos.

Para mostrar que uma reta $ r $ e um plano $ \pi $, ambos perpendiculares a uma reta $ s $ em pontos distintos, são paralelos, vamos analisar as definições e propriedades envolvidas. 1. **Definição de Perpendicularidade**: - Uma reta $ r $ é perpendicular a outra reta $ s $ se o ângulo entre elas é de $ 90^\circ $. - Um plano $ \pi $ é perpendicular a uma reta $ s $ se a reta $ s $ é perpendicular a todas as retas contidas no plano $ \pi $. 2. **Condições do Problema**: - Temos uma reta $ r $ perpendicular à reta $ s $ no ponto $ A $. - Temos um plano $ \pi $ perpendicular à reta $ s $ no ponto $ B $. 3. **Análise Geométrica**: - Como $ r $ é perpendicular a $ s $ em $ A $, qualquer vetor diretor de $ r $ é ortogonal a um vetor diretor de $ s $. - Como $ \pi $ é perpendicular a $ s $ em $ B $, qualquer vetor normal ao plano $ \pi $ é paralelo a $ s $. 4. **Paralelismo entre Reta e Plano**: - Para que uma reta seja paralela a um plano, a reta deve ser coplanar com o plano e não ter interseção com ele, ou todos os vetores diretores da reta devem ser ortogonais ao vetor normal do plano. - No nosso caso, como $ r $ e $ \pi $ são ambos perpendiculares a $ s $, isso implica que a direção de $ r $ é ortogonal à direção normal de $ \pi $. - Assim, $ r $ e $ \pi $ não têm interseção, pois estão em pontos distintos, e $ r $ não está contida em $ \pi $. Portanto, a reta $ r $ e o plano $ \pi $, ambos perpendiculares a uma mesma reta $ s $ em pontos distintos, são paralelos entre si.

Question

Mostre que uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em pontos distintos
são paralelos.

Accepted Answer

Para mostrar que uma reta $ r $ e um plano $ \pi $, ambos perpendiculares a uma reta $ s $ em pontos distintos, são paralelos, vamos analisar as definições e propriedades envolvidas.

1. **Definição de Perpendicularidade**:
   - Uma reta $ r $ é perpendicular a outra reta $ s $ se o ângulo entre elas é de $ 90^\circ $.
   - Um plano $ \pi $ é perpendicular a uma reta $ s $ se a reta $ s $ é perpendicular a todas as retas contidas no plano $ \pi $.

2. **Condições do Problema**:
   - Temos uma reta $ r $ perpendicular à reta $ s $ no ponto $ A $.
   - Temos um plano $ \pi $ perpendicular à reta $ s $ no ponto $ B $.

3. **Análise Geométrica**:
   - Como $ r $ é perpendicular a $ s $ em $ A $, qualquer vetor diretor de $ r $ é ortogonal a um vetor diretor de $ s $.
   - Como $ \pi $ é perpendicular a $ s $ em $ B $, qualquer vetor normal ao plano $ \pi $ é paralelo a $ s $.

4. **Paralelismo entre Reta e Plano**:
   - Para que uma reta seja paralela a um plano, a reta deve ser coplanar com o plano e não ter interseção com ele, ou todos os vetores diretores da reta devem ser ortogonais ao vetor normal do plano.
   - No nosso caso, como $ r $ e $ \pi $ são ambos perpendiculares a $ s $, isso implica que a direção de $ r $ é ortogonal à direção normal de $ \pi $.
   - Assim, $ r $ e $ \pi $ não têm interseção, pois estão em pontos distintos, e $ r $ não está contida em $ \pi $.

Portanto, a reta $ r $ e o plano $ \pi $, ambos perpendiculares a uma mesma reta $ s $ em pontos distintos, são paralelos entre si.

Mostre que uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em...

Mostre que uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em pontos distintos são paralelos.

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