Na Fig. 29-46, duas espiras circulares, concêntricas, que conduzem correntes no mesmo sentido, estão no mesmo plano. A espira 1 tem 1,50 cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2 tem 2,50 cm de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo magnético no centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira 2 em torno de um diâmetro. Qual deve ser o ângulo de rotação da espira 2 para que o módulo do campo seja 100 nT?

Question

Na	Fig.	29-46,	duas	espiras	circulares,	concêntricas,	que	conduzem	correntes	no	mesmo	sentido, estão	no	mesmo	plano.	A	espira	1	tem	1,50	cm	de	raio	e	conduz	uma	corrente	de	4,00	mA.	A	espira	2	tem 2,50	cm	de	raio	e	conduz	uma	corrente	de	6,00	mA.	O	campo	magnético	 	no	centro	comum	das	duas espiras	é	medido	enquanto	se	faz	girar	a	espira	2	em	torno	de	um	diâmetro.	Qual	deve	ser	o	ângulo	de rotação	da	espira	2	para	que	o	módulo	do	campo	 	seja	100	nT?

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos calcular o campo magnético resultante no centro das espiras quando a espira 2 é rotacionada. Vamos usar a lei de Biot-Savart para determinar o campo magnético de cada espira em seu centro.

O campo magnético $ B $ no centro de uma espira circular de raio $ R $ que conduz uma corrente $ I $ é dado por:

$$
B = \frac{\mu_0 I}{2R}
$$

onde $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}$ é a permeabilidade do vácuo.

### Passo 1: Calcular o campo magnético de cada espira

**Espira 1:**

- Raio $ R_1 = 1,50 \, \text{cm} = 0,015 \, \text{m} $
- Corrente $ I_1 = 4,00 \, \text{mA} = 4,00 \times 10^{-3} \, \text{A} $

$$
B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R_1} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4,00 \times 10^{-3}}{2 \times 0,015}
$$

$$
B_1 \approx 1,675 \times 10^{-7} \, \text{T}
$$

**Espira 2:**

- Raio $ R_2 = 2,50 \, \text{cm} = 0,025 \, \text{m} $
- Corrente $ I_2 = 6,00 \, \text{mA} = 6,00 \times 10^{-3} \, \text{A} $

$$
B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2R_2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 6,00 \times 10^{-3}}{2 \times 0,025}
$$

$$
B_2 \approx 1,508 \times 10^{-7} \, \text{T}
$$

### Passo 2: Determinar o campo magnético resultante

Quando a espira 2 é rotacionada de um ângulo $\theta$, o componente do campo magnético $ B_2 $ na direção perpendicular ao plano da espira 1 é $ B_2 \cos(\theta) $.

Queremos que o módulo do campo magnético resultante seja 100 nT:

$$
B_{\text{resultante}} = B_1 + B_2 \cos(\theta) = 100 \times 10^{-9} \, \text{T}
$$

Substituindo os valores calculados:

$$
1,675 \times 10^{-7} + 1,508 \times 10^{-7} \cos(\theta) = 100 \times 10^{-9}
$$

Resolvendo para $\cos(\theta)$:

$$
1,508 \times 10^{-7} \cos(\theta) = 100 \times 10^{-9} - 1,675 \times 10^{-7}
$$

$$
1,508 \times 10^{-7} \cos(\theta) = -6,75 \times 10^{-8}
$$

$$
\cos(\theta) = \frac{-6,75 \times 10^{-8}}{1,508 \times 10^{-7}}
$$

$$
\cos(\theta) \approx -0,4475
$$

Finalmente, para encontrar $\theta$:

$$
\theta = \cos^{-1}(-0,4475)
$$

$$
\theta \approx 116,57^\circ
$$

Portanto, o ângulo de rotação necessário da espira 2 é aproximadamente $116,57^\circ$.

Na Fig. 29-46, duas espiras circulares, concêntricas, que co...

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