Não há uma expressão explícita para o perímetro de uma elipse mas podemos expressar o comprimento da
elipse de equação $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ por uma integral. Assinale-a:

A $$\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{a^4-c^2 x^2}{a^2-x^2}} \cdot d x$$

B $$\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{a^4-x^2}{b^2-x^2}} \cdot d x$$

C $$\frac{4 b}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{1}{a^2-x^2}} \cdot d x$$

D $$\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \cdot d x$$

E $$\frac{4 b}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{x^2}{a^2-x^2}} \cdot d x$$

Question

Não há uma expressão explícita para o perímetro de uma elipse mas podemos expressar o comprimento da
elipse de equação $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ por uma integral. Assinale-a:

A 	$$\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{a^4-c^2 x^2}{a^2-x^2}} \cdot d x$$

B $$\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{a^4-x^2}{b^2-x^2}} \cdot d x$$

C	$$\frac{4 b}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{1}{a^2-x^2}} \cdot d x$$

D $$\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \cdot d x$$

E	$$\frac{4 b}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{x^2}{a^2-x^2}} \cdot d x$$

Accepted Answer

A questão pede para identificar a integral que expressa o comprimento da elipse dada pela equação $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.

O comprimento de uma elipse não tem uma expressão fechada simples, mas pode ser expresso por uma integral. A fórmula geral para o comprimento de uma curva dada por $y = f(x)$ de $x = a$ a $x = b$ é:

$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
$$

Para a elipse, podemos expressar $y$ em termos de $x$ como:

$$
y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}
$$

Agora, calculamos a derivada de $y$ em relação a $x$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{a^2 - x^2}} = -\frac{bx}{a\sqrt{a^2 - x^2}}
$$

Então, $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ é:

$$
\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{b^2x^2}{a^2(a^2 - x^2)}
$$

Substituímos isso na fórmula do comprimento da curva:

$$
L = \int_{-a}^{a} \sqrt{1 + \frac{b^2x^2}{a^2(a^2 - x^2)}} \, dx = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a^2(a^2 - x^2) + b^2x^2}{a^2(a^2 - x^2)}} \, dx
$$

$$
L = \int_{-a}^{a} \frac{\sqrt{a^4 - a^2x^2 + b^2x^2}}{a\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx
$$

Como a elipse é simétrica, podemos integrar de 0 a $a$ e multiplicar por 4:

$$
L = 4 \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a^4 - a^2x^2 + b^2x^2}}{a\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx
$$

Se $c^2 = a^2 - b^2$, então $b^2 = a^2 - c^2$, e substituindo:

$$
L = 4 \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a^4 - a^2x^2 + (a^2 - c^2)x^2}}{a\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = 4 \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a^4 - c^2x^2}}{a\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx
$$

$$
L = \frac{4}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a^4 - c^2x^2}{a^2 - x^2}} \, dx
$$

Comparando com as opções fornecidas, a opção A corresponde à integral que derivamos.

**Resposta: A**
A integral que expressa o comprimento da elipse é $\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{\frac{a^4-c^2 x^2}{a^2-x^2}} \cdot d x$.

Não há uma expressão explícita para o perímetro de uma elips...

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