No círculo de centro O e diâmetro de comprimento D, o triângulo retângulo ABC tem catetos paralelos aos diâmetros perpendiculares, com hipotenusa medindo 15√2 e um dos catetos medindo 5√2 conforme a figura abaixo. Nesse caso, a soma dos algarismos de D² é:
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Question

No círculo de centro O e diâmetro de comprimento D, o triângulo retângulo ABC tem catetos paralelos aos diâmetros perpendiculares, com hipotenusa medindo 15√2 e um dos catetos medindo 5√2 conforme a figura abaixo. Nesse caso, a soma dos algarismos de D² é:

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Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $ ABC $.

Dados:
- Hipotenusa $ AC = 15\sqrt{2} $
- Um dos catetos $ BC = 5\sqrt{2} $

Vamos encontrar o outro cateto $ AB $:

$$
AC^2 = AB^2 + BC^2
$$

Substituindo os valores:

$$
(15\sqrt{2})^2 = AB^2 + (5\sqrt{2})^2
$$

Calculando os quadrados:

$$
225 \times 2 = AB^2 + 25 \times 2
$$

$$
450 = AB^2 + 50
$$

Isolando $ AB^2 $:

$$
AB^2 = 450 - 50 = 400
$$

Portanto, $ AB = \sqrt{400} = 20 $.

O diâmetro do círculo é a hipotenusa do triângulo, ou seja, $ D = 15\sqrt{2} $.

Agora, calculamos $ D^2 $:

$$
D^2 = (15\sqrt{2})^2 = 225 \times 2 = 450
$$

A soma dos algarismos de $ D^2 = 450 $ é $ 4 + 5 + 0 = 9 $.

Portanto, a soma dos algarismos de $ D^2 $ é **9**.