No laboratório de análises de amostras de um processo químico, cinco amostras do processo são analisadas diariamente. Além disso, uma amostra controle é analisada duas vezes por dia para verificar a calibração dos instrumentos do laboratório. a) Quantas sequências diferentes de amostras de processo e de controle são possíveis por dia? Suponha que as cinco amostras de processo sejam consideradas idênticas e que as duas amostras de controle sejam consideradas idênticas. b) Quantas sequências diferentes de amostras de processo e de controle são possíveis por dia se considerarmos que as cinco amostras de processo sejam diferentes e que as duas amostras de controle sejam idênticas? c) Para a mesma situação do item (b), quantas sequências são possíveis se o primeiro teste de cada dia tiver de ser uma amostra de controle?

Para resolver essas questões, vamos usar conceitos de combinações e permutações.

a) Amostras de processo idênticas e amostras de controle idênticas

Neste caso, temos 5 amostras de processo que são consideradas idênticas e 2 amostras de controle também consideradas idênticas. Isso significa que estamos lidando com uma sequência de 7 espaços, onde precisamos escolher 2 desses para as amostras de controle. O número de sequências diferentes pode ser calculado como uma combinação, pois a ordem das amostras idênticas não importa:

$$\text{Número de sequências} = \binom{7}{2}$$ $$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

Portanto, há 21 sequências diferentes possíveis por dia.

b) Amostras de processo diferentes e amostras de controle idênticas

Agora, considerando as cinco amostras de processo como diferentes entre si e as duas amostras de controle ainda idênticas, o problema se torna uma questão de permutação com repetição. Temos 7 posições a serem preenchidas, das quais 2 serão preenchidas por amostras de controle idênticas e as outras 5 por amostras de processo diferentes.

O número total de sequências é dado por:

$$\text{Número de sequências} = \frac{7!}{2!}$$ $$\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 2520$$

Então, há 2.520 sequências diferentes possíveis por dia.

c) Primeiro teste de cada dia deve ser uma amostra de controle

Para este caso, a primeira posição já está determinada como sendo uma amostra de controle. Assim, nos restam 1 amostra de controle e 5 amostras de processo diferentes para serem distribuídas em 6 posições.

O número total de sequências é dado pela permutação das 6 posições restantes, considerando que uma das amostras de controle é idêntica à outra:

$$\text{Número de sequências} = \frac{6!}{1!}$$ $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

Portanto, existem 720 sequências diferentes possíveis se o primeiro teste de cada dia tiver de ser uma amostra de controle.