1) A figura abaixo mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar, com a = 39,0 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,40 pC e q2 = 6,00 pC. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (Sugestão: Examinando o problema com atenção, é possível reduzir consideravelmente os cálculos.)

Question

Accepted Answer

Para calcular o potencial elétrico no centro do retângulo, podemos usar a fórmula do potencial elétrico devido a uma carga pontual:

$$ V = \frac{k \cdot q}{r} $$

onde $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2 $), $ q $ é a carga e $ r $ é a distância da carga até o ponto onde queremos calcular o potencial.

### Passos para a solução:

1. **Identificar as cargas e suas posições**: 
   - As cargas são $ +2q_1 $, $ +4q_2 $, $ -3q_1 $, $ -q_1 $, $ +4q_2 $, $ +2q_1 $.
   - A configuração é simétrica em relação ao centro.

2. **Determinar as distâncias**:
   - O centro do retângulo está a uma distância $ \frac{a}{2} $ de cada lado.
   - Usando o teorema de Pitágoras, a distância de qualquer vértice até o centro é $ r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} $.

3. **Calcular o potencial total**:
   - O potencial devido a cada carga no centro é somado, considerando que o potencial é escalar.
   - Como a configuração é simétrica, algumas cargas se cancelam mutuamente.

4. **Potencial total**:
   $$
   V_{\text{total}} = \sum \frac{k \cdot q_i}{r_i}
   $$
   - Substituindo as cargas e considerando a simetria, muitas contribuições se cancelam.

5. **Simplificação**:
   - As cargas $ +2q_1 $ e $ -q_1 $ se cancelam parcialmente.
   - As cargas $ +4q_2 $ se somam.
   - As cargas $ -3q_1 $ e $ +2q_1 $ se cancelam parcialmente.

6. **Cálculo final**:
   - Após considerar os cancelamentos e somas, calcule o potencial resultante.

### Cálculo:

$$
V_{\text{centro}} = \frac{k}{\frac{a}{\sqrt{2}}} \left(2q_1 - q_1 - 3q_1 + 2q_1 + 4q_2 + 4q_2\right)
$$

Substitua os valores de $ q_1 $ e $ q_2 $ e $ a $:

- $ q_1 = 3,40 \times 10^{-12} \, \text{C} $
- $ q_2 = 6,00 \times 10^{-12} \, \text{C} $
- $ a = 0,39 \, \text{m} $

Calcule o valor numérico para obter o potencial no centro.

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