noulli
https://mb4.bernoulli.com.br/simuladosenem/368/2
Estudante
Colégio Militar Dom P..
O inseto, inicialmente sobre o ponto $ A $, movimenta-se até o baricentro do triângulo $ \mathrm{ABC} \mathrm{e} $, a partir deste ponto dirige-se ao vértice $ B $, percorrendo as menores distâncias possíveis em cada deslocamento.
A distância, em decímetro, percorrida pelo inseto é igual a:
(a) $ \sqrt{3} $
(B) 2
(c) $ 2 \sqrt{3} $
(1) 3
(B) 4
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Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a distância total percorrida pelo inseto ao se mover do ponto $ A $ até o baricentro do triângulo $ \mathrm{ABC} $ e, em seguida, até o vértice $ B $.

Primeiramente, vamos considerar que o triângulo $ \mathrm{ABC} $ é equilátero, pois isso simplifica os cálculos e é uma suposição comum em problemas desse tipo, a menos que seja especificado o contrário.

1. **Baricentro de um triângulo equilátero:**

O baricentro (ou centroide) de um triângulo equilátero divide cada mediana na razão $ 2:1 $, com a parte maior estando mais próxima do vértice. A mediana de um triângulo equilátero também é a altura.

A altura $ h $ de um triângulo equilátero com lado $ a $ é dada por:

$$
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
$$

O baricentro estará a uma distância de $ \frac{2}{3} $ dessa altura a partir do vértice $ A $:

$$
d_{AB} = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a
$$

2. **Distância do baricentro ao vértice $ B $:**

A distância do baricentro ao vértice $ B $ é igual a $ \frac{a}{\sqrt{3}} $.

Portanto, a distância total percorrida pelo inseto será a soma dessas duas distâncias:

$$
d_{\text{total}} = d_{AB} + d_{BC} = \frac{\sqrt{3}}{3} a + \frac{a}{\sqrt{3}}
$$

Simplificando:

$$
d_{\text{total}} = \frac{\sqrt{3}}{3} a + \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
$$

Se considerarmos que o lado do triângulo $ a = 1 $ decímetro, então:

$$
d_{\text{total}} = \frac{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
$$

Assim, a resposta correta é:

\textbf{Answer: C}

A distância total percorrida pelo inseto é $ 2\sqrt{3} $ decímetros.

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