Num quadrilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diagonais,
prove que os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais
também são ortogonais (em outros termos: prove que as arestas opostas de
um tetraedro regular são ortogonais).

Question

Num quadrilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diagonais,
prove que os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais
também são ortogonais (em outros termos: prove que as arestas opostas de
um tetraedro regular são ortogonais).

Accepted Answer

Para provar que em um quadrilátero reverso com lados congruentes entre si e congruentes às diagonais, os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais, podemos seguir a seguinte abordagem:

Um quadrilátero reverso é um quadrilátero espacial cujos vértices não estão todos no mesmo plano. Para simplificar, considere o quadrilátero $ABCD$ onde $AB = BC = CD = DA = AC = BD$.

### Prova:

1. **Propriedades do Tetraedro Regular:**
   - Um tetraedro regular tem todas as suas arestas de igual comprimento.
   - As arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais.

2. **Configuração do Quadrilátero Reverso:**
   - Considere que $AB = BC = CD = DA = AC = BD$. Isso implica que o quadrilátero pode ser visto como parte de um tetraedro regular.
   - No tetraedro regular, as arestas opostas são ortogonais.

3. **Ortogonalidade dos Lados Opostos:**
   - No contexto de um tetraedro regular, as arestas opostas são ortogonais. Assim, $AB$ é ortogonal a $CD$ e $BC$ é ortogonal a $DA$.

4. **Ortogonalidade das Diagonais:**
   - Da mesma forma, as diagonais $AC$ e $BD$ são ortogonais no tetraedro regular devido à simetria e à configuração espacial.

Portanto, em um quadrilátero reverso com as propriedades mencionadas, tanto os lados opostos quanto as diagonais são ortogonais, o que está de acordo com as propriedades das arestas opostas de um tetraedro regular.

Num quadrilátero reverso de lados congruentes entre si e con...

Num quadrilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diagonais, prove que os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais também são ortogonais (em outros termos: prove que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais).

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