Numa garrafa térmica ideal, com 1,0 L de capacidade, sāo colocados 207 g de leite, à temperatura ambiente $ \left(23^{\circ} \mathrm{C}\right) $, e uma determinada quantidade de café a $ 94^{\circ} \mathrm{C} $. Admitindose que as trocas de calor somente aconteçam entre o café e o leite (cujas densidades e calores específicos podem ser considerados iguais), quantos gramas de café devem ser adicionados à garrafa para que a temperatura final da mistura seja de $ 40^{\circ} \mathrm{C} $ ?

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, devemos utilizar o princípio da conservação de energia, onde a quantidade de calor perdida pelo café será igual à quantidade de calor ganha pelo leite. A fórmula básica para o cálculo do calor é:

$$ Q = mc\Delta T $$

onde:
- $ Q $ é a quantidade de calor,
- $ m $ é a massa,
- $ c $ é o calor específico,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Vamos definir:
- $ m_l $ como a massa do leite,
- $ m_c $ como a massa do café,
- $ c $ como o calor específico (que é o mesmo para ambos),
- $ T_i $ como a temperatura inicial,
- $ T_f $ como a temperatura final.

Para o leite:
- $ m_l = 207 \, \text{g} $,
- $ T_{i,l} = 23^\circ \text{C} $,
- $ T_f = 40^\circ \text{C} $.

Para o café:
- $ T_{i,c} = 94^\circ \text{C} $,
- $ T_f = 40^\circ \text{C} $.

A quantidade de calor ganha pelo leite é:
$$ Q_l = m_l c (T_f - T_{i,l}) $$

A quantidade de calor perdida pelo café é:
$$ Q_c = m_c c (T_{i,c} - T_f) $$

Como as trocas de calor são apenas entre o leite e o café:
$$ Q_l = Q_c $$

Portanto:
$$ m_l c (T_f - T_{i,l}) = m_c c (T_{i,c} - T_f) $$

Podemos simplificar a equação retirando o calor específico $ c $:
$$ m_l (T_f - T_{i,l}) = m_c (T_{i,c} - T_f) $$

Substituindo os valores conhecidos:
$$ 207 \, \text{g} \cdot (40^\circ \text{C} - 23^\circ \text{C}) = m_c \cdot (94^\circ \text{C} - 40^\circ \text{C}) $$

$$ 207 \, \text{g} \cdot 17^\circ \text{C} = m_c \cdot 54^\circ \text{C} $$

$$ 3519 \, \text{g} \cdot ^\circ \text{C} = m_c \cdot 54^\circ \text{C} $$

$$ m_c = \frac{3519 \, \text{g} \cdot ^\circ \text{C}}{54^\circ \text{C}} $$

$$ m_c = 65.17 \, \text{g} $$

Portanto, devem ser adicionados aproximadamente **65 gramas de café** à garrafa para que a temperatura final da mistura seja de $ 40^\circ \text{C} $.

Numa garrafa térmica ideal, com 1,0 L de capacidade, sāo col...

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