Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão, e q diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 30. Pode-se afirmar, corretamente, que a soma dos quatro termos dessa PG é igual a?

Q: Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão, e q diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 30. Pode-se afirmar, corretamente, que a soma dos quatro termos dessa PG é igual a?

Vamos resolver o problema passo a passo. 1. Seja $ a $ o primeiro termo da PG e $ r $ a razão da PG. De acordo com o enunciado, temos: \[ a = 5r \] 2. Os quatro termos da PG são $ a $, $ ar $, $ ar^2 $ e $ ar^3 $. 3. A diferença entre o segundo termo ($ ar $) e o primeiro termo ($ a $) é 30: \[ ar - a = 30 \] Substituindo $ a = 5r $: \[ 5r \cdot r - 5r = 30 \] \[ 5r^2 - 5r = 30 \] Dividindo toda a equação por 5: \[ r^2 - r = 6 \] \[ r^2 - r - 6 = 0 \] 4. Resolvendo a equação quadrática $ r^2 - r - 6 = 0 $: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -6 $: \[ r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ r = \frac{1 \pm 5}{2} \] Temos duas soluções: \[ r = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{ou} \quad r = \frac{-4}{2} = -2 \] Como a PG é crescente, descartamos $ r = -2 $. Portanto, $ r = 3 $. 5. Calculando o primeiro termo $ a $: \[ a = 5r = 5 \times 3 = 15 \] 6. Agora, os quatro termos da PG são: \[ 15, \, 15 \cdot 3 = 45, \, 15 \cdot 3^2 = 135, \, 15 \cdot 3^3 = 405 \] 7. A soma dos quatro termos é: \[ 15 + 45 + 135 + 405 = 600 \] Portanto, a soma dos quatro termos dessa PG é igual a 600.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

1. Seja $ a $ o primeiro termo da PG e $ r $ a razão da PG. De acordo com o enunciado, temos:
   $$
   a = 5r
   $$

2. Os quatro termos da PG são $ a $, $ ar $, $ ar^2 $ e $ ar^3 $.

3. A diferença entre o segundo termo ($ ar $) e o primeiro termo ($ a $) é 30:
   $$
   ar - a = 30
   $$
   Substituindo $ a = 5r $:
   $$
   5r \cdot r - 5r = 30
   $$
   $$
   5r^2 - 5r = 30
   $$
   Dividindo toda a equação por 5:
   $$
   r^2 - r = 6
   $$
   $$
   r^2 - r - 6 = 0
   $$

4. Resolvendo a equação quadrática $ r^2 - r - 6 = 0 $:
   $$
   r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -6 $:
   $$
   r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}
   $$
   $$
   r = \frac{1 \pm 5}{2}
   $$
   Temos duas soluções:
   $$
   r = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{ou} \quad r = \frac{-4}{2} = -2
   $$

Como a PG é crescente, descartamos $ r = -2 $. Portanto, $ r = 3 $.

5. Calculando o primeiro termo $ a $:
   $$
   a = 5r = 5 \times 3 = 15
   $$

6. Agora, os quatro termos da PG são:
   $$
   15, \, 15 \cdot 3 = 45, \, 15 \cdot 3^2 = 135, \, 15 \cdot 3^3 = 405
   $$

7. A soma dos quatro termos é:
   $$
   15 + 45 + 135 + 405 = 600
   $$

Portanto, a soma dos quatro termos dessa PG é igual a 600.

Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro termos,...

Numa progressão geométrica (PG) crescente, de quatro termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão, e q diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 30. Pode-se afirmar, corretamente, que a soma dos quatro termos dessa PG é igual a?

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