O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu
ângulo interno. Determine 0 numero de diagonais desse polígono.

Question

O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu
ângulo interno. Determine 0 numero de diagonais desse polígono.

Accepted Answer

Para resolver o problema, primeiro precisamos entender a relação entre os ângulos internos e externos de um polígono regular.

Sabemos que:
1. A soma dos ângulos internos de um polígono com $ n $ lados é dada por:
   $$
   S_i = (n - 2) \cdot 180^\circ
   $$
2. Cada ângulo interno de um polígono regular é:
   $$
   \theta_i = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}
   $$
3. O ângulo externo de um polígono regular é:
   $$
   \theta_e = \frac{360^\circ}{n}
   $$

De acordo com o problema, o ângulo externo é o dobro do ângulo interno:
$$
\theta_e = 2 \cdot \theta_i
$$

Substituindo as expressões de $\theta_i$ e $\theta_e$:
$$
\frac{360^\circ}{n} = 2 \cdot \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}
$$

Simplificando a equação:
$$
\frac{360}{n} = 2 \cdot \frac{180(n - 2)}{n}
$$

$$
\frac{360}{n} = \frac{360(n - 2)}{n}
$$

Multiplicando ambos os lados por $ n $:
$$
360 = 360(n - 2)
$$

Dividindo ambos os lados por 360:
$$
1 = n - 2
$$

Adicionando 2 a ambos os lados:
$$
n = 3
$$

Portanto, o polígono tem 3 lados, o que significa que é um triângulo. No entanto, um triângulo não tem diagonais. Isso indica que houve um erro na interpretação inicial do problema ou nos cálculos. Vamos revisar:

O ângulo externo sendo o dobro do ângulo interno parece contraditório para polígonos regulares comuns. Vamos reavaliar a fórmula:

Seja $ n $ o número de lados do polígono. A relação correta deve ser:
$$
\frac{360^\circ}{n} = 2 \left( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \right)
$$

Vamos resolver novamente:
$$
\frac{360}{n} = 2 \left( \frac{180(n - 2)}{n} \right)
$$

Simplificando:
$$
\frac{360}{n} = \frac{360(n - 2)}{n}
$$

Multiplicando ambos os lados por $ n $:
$$
360 = 360(n - 2)
$$

Dividindo ambos os lados por 360:
$$
1 = n - 2
$$

Adicionando 2 a ambos os lados:
$$
n = 3
$$

Portanto, um triângulo não possui diagonais, confirmando que não há diagonais.

O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do ...

O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Determine 0 numero de diagonais desse polígono.

Ask a question and receive an answer instantly