O bloco A indicado na figura abaixo possui massa igual a $ 1 \mathbf{k g} $, e o bloco B possui massa igual a $ \mathbf{3 k g} $. Os dois blocos se aproximam, comprimindo a mola $ S $ entre eles. Em seguida, o sistema é liberado a partir do repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. A mola possui massa desprezível, não está presa a nenhum dos blocos, caindo sobre a mesa depois que se expande. O bloco $ B $ adquire uma velocidade final de $ 1.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $.
a) Qual é o módulo da velocidade final do bloco $ A $ ?
$ v_{A}= $ $ \square $ $ \mathrm{m} / \mathrm{s} $ (duas casas decimais).
b) Em que sentido o bloco A se move? $ \square $
c) Qual foi a energia potencial armazenada na mola comprimida?
$ U_{e l}= $ $ \square $ $ \mathrm{J} $ (duas casas decimais).
d) Sabe-se que a mola comprime $ 10 \mathrm{~cm} $ quando nela se aplica uma força de $ 2.7 \mathrm{~N} $. De quanto a mola estava comprimida antes dos blocos serem liberados?
$ \Delta x= $ $ \square $ m (duas casas decimais).

Question

Accepted Answer

Para resolver essas questões, vamos considerar a conservação do momento linear e a conservação da energia mecânica.

a) Para encontrar o módulo da velocidade final do bloco $ A $, usamos a conservação do momento linear. O momento linear total antes da liberação é igual ao momento linear total após a liberação, uma vez que não há forças externas horizontais atuando no sistema:

$$ m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f} $$

Como os blocos estão inicialmente em repouso, $ v_{A,i} = v_{B,i} = 0 $. Então, a equação se simplifica para:

$$ 0 = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f} $$

Substituindo os valores conhecidos ($ m_A = 1 \, \text{kg} $, $ m_B = 3 \, \text{kg} $, $ v_{B,f} = 1.2 \, \text{m/s} $):

$$ 0 = (1 \, \text{kg}) v_{A,f} + (3 \, \text{kg})(1.2 \, \text{m/s}) $$

Resolvendo para $ v_{A,f} $:

$$ v_{A,f} = - (3 \cdot 1.2) / 1 = -3.6 \, \text{m/s} $$

Portanto, o módulo da velocidade final do bloco $ A $ é $ 3.60 \, \text{m/s} $.

b) O sinal negativo na velocidade indica que o bloco $ A $ se move em sentido oposto ao do bloco $ B $, ou seja, para a esquerda, se considerarmos que o bloco $ B $ se move para a direita.

c) Para encontrar a energia potencial armazenada na mola comprimida, usamos a conservação da energia mecânica. A energia potencial elástica armazenada na mola é convertida integralmente nas energias cinéticas dos blocos $ A $ e $ B $ após a liberação:

$$ U_{el} = \frac{1}{2} m_A v_{A,f}^2 + \frac{1}{2} m_B v_{B,f}^2 $$

Substituindo os valores conhecidos:

$$ U_{el} = \frac{1}{2} (1 \, \text{kg}) (3.6)^2 + \frac{1}{2} (3 \, \text{kg}) (1.2)^2 $$
$$ U_{el} = \frac{1}{2} (1)(12.96) + \frac{1}{2} (3)(1.44) $$
$$ U_{el} = 6.48 + 2.16 = 8.64 \, \text{J} $$

d) Para calcular o quanto a mola estava comprimida antes dos blocos serem liberados, usamos a Lei de Hooke e a informação adicional sobre a compressão da mola com uma força aplicada. A constante da mola $ k $ é dada por:

$$ k = \frac{F}{\Delta x} $$

Substituindo $ F = 2.7 \, \text{N} $ e $ \Delta x = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} $:

$$ k = \frac{2.7}{0.1} = 27 \, \text{N/m} $$

Usando a energia potencial elástica armazenada na mola ($ U_{el} = 8.64 \, \text{J} $) e a relação $ U_{el} = \frac{1}{2} k \Delta x^2 $, podemos encontrar $ \Delta x $:

$$ 8.64 = \frac{1}{2} (27) \Delta x^2 $$

Resolvendo para $ \Delta x^2 $:

$$ \Delta x^2 = \frac{8.64 \cdot 2}{27} = \frac{17.28}{27} $$

$$ \Delta x^2 = 0.64 $$

$$ \Delta x = \sqrt{0.64} = 0.8 \, \text{m} $$

Resumindo as respostas:
a) $ v_{A} = 3.60 \, \text{m/s} $.
b) O bloco $ A $ se move para a esquerda.
c) $ U_{el} = 8.64 \, \text{J} $.
d) $ \Delta x = 0.80 \, \text{m} $.

O bloco A indicado na figura abaixo possui massa igual a m ...

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