O cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro do círculo da base. Ele também é chamado de cone de revolução, por ser formado pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em volta de um de seus catetos.

Considerando um cone circular reto cuja área lateral mede 24π cm2 e cujo comprimento da circunferência da base mede 8π cm, assinale a alternativa correta que apresenta o volume do cone em cm3.

a.
fraction numerator 20 straight pi square root of 3 over denominator 3 end fraction

b.
fraction numerator 40 straight pi square root of 5 over denominator 3 end fraction

c.
fraction numerator 30 straight pi square root of 3 over denominator 3 end fraction

d.
fraction numerator 32 straight pi square root of 5 over denominator 3 end fraction

e.
fraction numerator 35 straight pi square root of 3 over denominator 3 end fraction

Question

O cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro do círculo da base. Ele também é chamado de cone de revolução, por ser formado pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em volta de um de seus catetos. 


Considerando um cone circular reto cuja área lateral mede 24π cm2 e cujo comprimento da circunferência da base mede 8π cm, assinale a alternativa correta que apresenta o volume do cone em cm3.

	a.	
fraction numerator 20 straight pi square root of 3 over denominator 3 end fraction

	b.	
fraction numerator 40 straight pi square root of 5 over denominator 3 end fraction

	c.	
fraction numerator 30 straight pi square root of 3 over denominator 3 end fraction

	d.	
fraction numerator 32 straight pi square root of 5 over denominator 3 end fraction

	e.	
fraction numerator 35 straight pi square root of 3 over denominator 3 end fraction

Accepted Answer

**Resposta: D**

Aqui está a explicação passo a passo:

1. **Entenda o problema:**
   - Temos um cone circular reto.
   - A área lateral do cone é $ 24\pi \, \text{cm}^2 $.
   - O comprimento da circunferência da base é $ 8\pi \, \text{cm} $.
   - Precisamos encontrar o volume do cone.

2. **Encontre o raio da base ($r$):**
   - O comprimento da circunferência da base é dado por $ C = 2\pi r $.
   - Sabemos que $ C = 8\pi \, \text{cm} $.
   - Portanto, $ 8\pi = 2\pi r $.
   - Dividindo ambos os lados por $ 2\pi $, obtemos $ r = 4 \, \text{cm} $.

3. **Encontre a geratriz ($g$):**
   - A área lateral do cone é dada por $ A_L = \pi r g $, onde $ g $ é a geratriz.
   - Sabemos que $ A_L = 24\pi \, \text{cm}^2 $ e $ r = 4 \, \text{cm} $.
   - Portanto, $ 24\pi = \pi \cdot 4 \cdot g $.
   - Dividindo ambos os lados por $ 4\pi $, obtemos $ g = 6 \, \text{cm} $.

4. **Encontre a altura ($h$):**
   - Em um cone reto, a altura ($h$), o raio ($r$) e a geratriz ($g$) formam um triângulo retângulo.
   - Usamos o teorema de Pitágoras: $ h^2 + r^2 = g^2 $.
   - Substituímos $ r = 4 $ e $ g = 6 $: $ h^2 + 4^2 = 6^2 $.
   - $ h^2 + 16 = 36 $.
   - $ h^2 = 36 - 16 = 20 $.
   - $ h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{cm} $.

5. **Calcule o volume ($V$):**
   - O volume do cone é dado por $ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $.
   - Substituímos $ r = 4 $ e $ h = 2\sqrt{5} $: $ V = \frac{1}{3} \pi (4^2) (2\sqrt{5}) $.
   - $ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{5} $.
   - $ V = \frac{32\pi\sqrt{5}}{3} \, \text{cm}^3 $.

Portanto, o volume do cone é $ \frac{32\pi\sqrt{5}}{3} \, \text{cm}^3 $, que corresponde à alternativa **D**.