O gráfico de uma função senoidal tem um ponto de mínimo em (0, -3) e em seguida intercepta sua linha média em (1, 1).

Escreva a fórmula da função, em que x é expresso em radianos.

f(x) =

Question

O gráfico de uma função senoidal tem um ponto de mínimo em (0, -3) e em seguida intercepta sua linha média em (1, 1).

Escreva a fórmula da função, em que x é expresso em radianos.

f(x) =

Accepted Answer

Para determinar a fórmula da função senoide, vamos usar as informações dadas:

1. O ponto de mínimo é $(0, -3)$.
2. A função intercepta sua linha média em $(1, 1)$.

A forma geral de uma função senoide é:

$$ f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d $$

Onde:
- $a$ é a amplitude.
- $b$ está relacionado ao período.
- $c$ é o deslocamento horizontal.
- $d$ é o deslocamento vertical (linha média).

### Passos para encontrar a fórmula:

1. **Linha média ($d$)**: A linha média é $1$, então $d = 1$.

2. **Amplitude ($a$)**: O ponto de mínimo é $-3$ e a linha média é $1$. Então, a amplitude é a diferença entre a linha média e o mínimo:
   $$
   a = 1 - (-3) = 4
   $$

3. **Deslocamento horizontal ($c$)**: O ponto de mínimo ocorre em $x = 0$. Para um senoide padrão, o mínimo ocorre em $\frac{3\pi}{2}$. Logo, precisamos ajustar o deslocamento:
   $$
   bx + c = \frac{3\pi}{2} \quad \text{quando} \quad x = 0 \implies c = \frac{3\pi}{2}
   $$

4. **Período e $b$**: Sabemos que a função intercepta a linha média em $(1, 1)$, que é $\frac{\pi}{2}$ unidades depois do mínimo. Isso sugere que:
   $$
   b \cdot 1 + c = 2\pi \implies b \cdot 1 + \frac{3\pi}{2} = 2\pi \implies b = \frac{\pi}{2}
   $$

Portanto, a função é:

$$ f(x) = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1 $$

O gráfico de uma função senoidal tem um ponto de mínimo em (...

O gráfico de uma função senoidal tem um ponto de mínimo em (0, -3) e em seguida intercepta sua linha média em (1, 1).

Escreva a fórmula da função, em que x é expresso em radianos.

f(x) =

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