O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor x, o segundo começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de x fim do estilo, o terceiro começar estilo tamanho matemático 14px x à potência de 1 terço fim do exponencial fim do estilo, o quarto x2 e o último x3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

A

O primeiro.

B

O segundo.

C

O terceiro.

D

O quarto.

E

O quinto.

Question

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor x, o segundo começar estilo tamanho matemático 14px raiz quadrada de x fim do estilo, o terceiro começar estilo tamanho matemático 14px x à potência de 1 terço fim do exponencial fim do estilo, o quarto x2 e o último x3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo. Qual desses países obteve o maior IDH? A O primeiro. B O segundo. C O terceiro. D O quarto. E O quinto.

A

Aluno

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01/04/24

Qual desses países obteve o maior IDH?

A

O primeiro.

B

O segundo.

C

O terceiro.

D

O quarto.

E

O quinto.

Accepted Answer

Para determinar qual país obteve o maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) entre as opções dadas, precisamos comparar os valores dados para cada país em função de $x$, considerando que $0 < x < 1$, já que nenhum dos países zerou ou atingiu o índice máximo. Os valores de IDH para cada país são dados como: 1. Primeiro país: $x$ 2. Segundo país: $\sqrt{x}$ 3. Terceiro país: $x^{\frac{1}{3}}$ 4. Quarto país: $x^2$ 5. Quinto país: $x^3$ Para $0 < x < 1$, a ordem das potências afeta o valor resultante da seguinte maneira: - Quando elevamos um número $x$ no intervalo $0 < x < 1$ a uma potência maior, o resultado se torna menor. Por exemplo, $x^3 < x^2 < x$. - Quando elevamos $x$ a uma fração menor que 1, como $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$, o resultado é maior do que $x$ mas menor do que 1. Além disso, quanto menor o denominador da fração (ou seja, quanto mais próximo de 1 a fração), maior será o valor de $x$ elevado a essa potência. Isso significa que $\sqrt{x} > x^{\frac{1}{3}} > x$. Com base nessas informações, podemos ordenar os valores de IDH dos países para qualquer $x$ no intervalo $0 < x < 1$ como: $$x^3 < x^2 < x < x^{\frac{1}{3}} < \sqrt{x}$$ Portanto, o país com o maior IDH é o **segundo país**, que tem o IDH dado por $\sqrt{x}$. A resposta correta é: B) O segundo.