O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade 25,0 m/s avista um trem de carga cuja traseira
se encontra a 200,0 m de distância à frente. O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com
velocidade 15,0 m/s. O maquinista imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a 0,100
m/s2 no sentido contrário à velocidade do trem, enquanto o trem de carga continua com a velocidade constante. Considere
x = 0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado. (a) As vacas na vizinhança
assistirão a uma colisão? (b) Se houver uma colisão, em que ponto ela ocorrerá? (c) Faça um único gráfico mostrando a
posição da frente do trem de passageiros e a traseira do trem de carga.

Question

O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade 25,0 m/s avista um trem de carga cuja traseira
se encontra a 200,0 m de distância à frente. O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com
velocidade 15,0 m/s. O maquinista imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a 0,100
m/s2 no sentido contrário à velocidade do trem, enquanto o trem de carga continua com a velocidade constante. Considere
x = 0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado. (a) As vacas na vizinhança
assistirão a uma colisão? (b) Se houver uma colisão, em que ponto ela ocorrerá? (c) Faça um único gráfico mostrando a
posição da frente do trem de passageiros e a traseira do trem de carga.

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos analisar o movimento dos dois trens e determinar se eles colidirão.

### (a) As vacas na vizinhança assistirão a uma colisão?

Primeiro, vamos calcular a posição do trem de passageiros ao longo do tempo após o freio ser acionado. A equação do movimento é:

$$ x_p(t) = v_{p0} \cdot t - \frac{1}{2} a \cdot t^2 $$

onde:
- $ v_{p0} = 25,0 \, \text{m/s} $ é a velocidade inicial do trem de passageiros,
- $ a = 0,100 \, \text{m/s}^2 $ é a aceleração negativa,
- $ t $ é o tempo em segundos.

Agora, para o trem de carga, que está a 200 m de distância inicialmente e se move com velocidade constante, a equação é:

$$ x_c(t) = 200 + v_c \cdot t $$

onde $ v_c = 15,0 \, \text{m/s} $.

Para encontrar se há colisão, igualamos as duas equações de posição e resolvemos para $ t $:

$$ v_{p0} \cdot t - \frac{1}{2} a \cdot t^2 = 200 + v_c \cdot t $$

Substituindo os valores:

$$ 25t - \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot t^2 = 200 + 15t $$

$$ 25t - 0,05t^2 = 200 + 15t $$

$$ 10t - 0,05t^2 = 200 $$

$$ 0,05t^2 - 10t + 200 = 0 $$

Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

onde $ a = 0,05 $, $ b = -10 $, $ c = 200 $.

$$ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 0,05 \cdot 200}}{2 \cdot 0,05} $$

$$ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 40}}{0,1} $$

$$ t = \frac{10 \pm \sqrt{60}}{0,1} $$

$$ t = \frac{10 \pm 7,75}{0,1} $$

As soluções são:

$$ t_1 = \frac{17,75}{0,1} = 177,5 \, \text{s} $$
$$ t_2 = \frac{2,25}{0,1} = 22,5 \, \text{s} $$

Como o tempo deve ser positivo e faz sentido no contexto, consideramos $ t_2 = 22,5 \, \text{s} $.

Portanto, **haverá uma colisão**.

### (b) Se houver uma colisão, em que ponto ela ocorrerá?

Para encontrar o ponto de colisão, substituímos $ t = 22,5 \, \text{s} $ em qualquer uma das equações de posição:

$$ x_p(22,5) = 25 \cdot 22,5 - \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot (22,5)^2 $$

$$ x_p(22,5) = 562,5 - \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 506,25 $$

$$ x_p(22,5) = 562,5 - 25,3125 $$

$$ x_p(22,5) = 537,1875 \, \text{m} $$

Portanto, a colisão ocorrerá aproximadamente a 537,19 metros da posição inicial do trem de passageiros.

### (c) Gráfico da posição dos trens

Para o gráfico, plotamos as posições $ x_p(t) $ e $ x_c(t) $ em função do tempo $ t $. O eixo horizontal representa o tempo e o eixo vertical a posição.

1. **Trem de Passageiros:** $ x_p(t) = 25t - 0,05t^2 $
2. **Trem de Carga:** $ x_c(t) = 200 + 15t $

O ponto de interseção dessas curvas no gráfico será o ponto de colisão.

O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocid...

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