O planeta Terra possui período orbital igual a 1 ano. Quanto tempo outro planeta, que orbita o Sol com raio orbital 3 vezes maior que o da Terra, levará para executar uma volta completa?
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Tobias
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12/09/24

Question

O planeta Terra possui período orbital igual a 1 ano. Quanto tempo outro planeta, que orbita o Sol com raio orbital 3 vezes maior que o da Terra, levará para executar uma volta completa?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar a terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital dos planetas com o raio de suas órbitas. A terceira lei de Kepler é expressa pela fórmula:

$$
\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3
$$

onde:
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são os períodos orbitais dos planetas,
- $ R_1 $ e $ R_2 $ são os raios orbitais dos planetas.

Sabemos que para a Terra:
- $ T_1 = 1 $ ano,
- $ R_1 = R $.

Para o outro planeta:
- $ R_2 = 3R $.

Substituindo na equação de Kepler, temos:

$$
\left(\frac{1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R}{3R}\right)^3
$$

Simplificando a fração no lado direito:

$$
\left(\frac{1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}
$$

Invertendo e resolvendo para $ T_2 $:

$$
T_2^2 = 27
$$

$$
T_2 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
$$

Portanto, o período orbital do outro planeta será aproximadamente $ 5,2 $ anos.