O princípio da Casa dos Pombos é, sem dúvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na solução de problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a solução elegante de problemas muitas vezes de difícil abordagem. Tendo este princípio em mente, qual o número mínimo necessário de pessoas para garantir que pelo menos três delas aniversariem no mesmo dia da semana?
A 36
B 25
C 23
D 15
E 12
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Question

Accepted Answer

O Princípio da Casa dos Pombos, também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet, afirma que se $n$ itens são colocados em $m$ compartimentos (ou gavetas), e se $n > m$, então pelo menos um compartimento deve conter mais de um item. Uma forma generalizada de expressar isso é: se $n$ itens são distribuídos em $m$ compartimentos, então pelo menos um compartimento deve conter pelo menos $\lceil \frac{n}{m} \rceil$ itens, onde $\lceil x \rceil$ denota o menor inteiro maior ou igual a $x$.

No contexto do problema, os "itens" são pessoas, e os "compartimentos" são os dias da semana. Existem 7 dias da semana, portanto $m = 7$. Queremos garantir que pelo menos 3 pessoas aniversariem no mesmo dia da semana, o que significa que queremos encontrar o menor número $n$ tal que, ao distribuir $n$ pessoas pelos 7 dias da semana, pelo menos um dos dias tenha pelo menos 3 pessoas.

Se cada dia da semana tivesse no máximo 2 pessoas aniversariando nele, teríamos no máximo $2 \times 7 = 14$ pessoas distribuídas sem que qualquer dia tivesse 3 pessoas aniversariando nele. Portanto, para garantir que pelo menos um dia tenha 3 pessoas aniversariando nele, precisamos de pelo menos uma pessoa a mais do que esse total, ou seja, $14 + 1 = 15$ pessoas.

Portanto, o número mínimo necessário de pessoas para garantir que pelo menos três delas aniversariem no mesmo dia da semana é **15**.

A resposta correta é a alternativa **D) 15**.

O princípio da Casa dos Pombos é, sem dúvida, um dos enuncia...

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