O produto entre dois números é 5,75794 a soma de suas raízes quadradas vale 3,26222. Determine os dois números utilizando um método numérico com 𝑒 ≤ 0,001.

Question

Accepted Answer

Para determinar os dois números $ x $ e $ y $ que satisfazem as condições dadas, podemos utilizar um método numérico, como o método de Newton-Raphson, para resolver o sistema de equações não lineares:

1. $ x \cdot y = 5,75794 $
2. $ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3,26222 $

Primeiro, vamos reformular as equações:

1. $ f_1(x, y) = x \cdot y - 5,75794 = 0 $
2. $ f_2(x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{y} - 3,26222 = 0 $

Vamos definir uma função vetorial $ \mathbf{F}(x, y) $ que combina essas duas equações:

$$
\mathbf{F}(x, y) = \begin{pmatrix}
f_1(x, y) \
f_2(x, y)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x \cdot y - 5,75794 \
\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3,26222
\end{pmatrix}
$$

O método de Newton-Raphson para sistemas de equações não lineares requer a matriz jacobiana $ J $ da função $ \mathbf{F} $:

$$
J = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}
\end{pmatrix}
$$

Calculamos as derivadas parciais:

$$
\frac{\partial f_1}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y} = x
$$
$$
\frac{\partial f_2}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}
$$

Portanto, a matriz jacobiana é:

$$
J = \begin{pmatrix}
y & x \
\frac{1}{2\sqrt{x}} & \frac{1}{2\sqrt{y}}
\end{pmatrix}
$$

Agora, aplicamos o método de Newton-Raphson iterativamente:

$$
\begin{pmatrix}
x_{n+1} \
y_{n+1}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x_n \
y_n
\end{pmatrix} - J^{-1} \mathbf{F}(x_n, y_n)
$$

Para isso, precisamos inverter a matriz jacobiana em cada iteração. Vamos começar com uma estimativa inicial para $ x $ e $ y $. Suponhamos $ x_0 = 1 $ e $ y_0 = 1 $.

Iteração 1:
- Calcular $ \mathbf{F}(x_0, y_0) $
- Calcular $ J(x_0, y_0) $
- Inverter $ J(x_0, y_0) $
- Atualizar $ x $ e $ y $

Repetiremos essas etapas até que a norma do vetor $ \mathbf{F}(x, y) $ seja menor ou igual a $ 0,001 $.

Devido ao limite de espaço e complexidade dos cálculos manuais, é recomendável usar software matemático (como MATLAB, Python com NumPy/SciPy, etc.) para realizar essas iterações.

Aqui está um exemplo de como você pode implementar isso em Python:

```python
import numpy as np

def F(xy):
    x, y = xy
    return np.array([x * y - 5.75794, np.sqrt(x) + np.sqrt(y) - 3.26222])

def J(xy):
    x, y = xy
    return np.array([[y, x], [1/(2*np.sqrt(x)), 1/(2*np.sqrt(y))]])

xy = np.array([1.0, 1.0])
tolerance = 0.001

for _ in range(100):  # Limite de 100 iterações
    F_val = F(xy)
    if np.linalg.norm(F_val) < tolerance:
        break
    J_inv = np.linalg.inv(J(xy))
    xy = xy - np.dot(J_inv, F_val)

x, y = xy
print(f"x = {x}, y = {y}")
```

Este código deve fornecer os valores de $ x $ e $ y $ que satisfazem as condições com a precisão desejada.

O produto entre dois números é 5,75794 a soma de suas raízes...

O produto entre dois números é 5,75794 a soma de suas raízes quadradas vale 3,26222. Determine os dois números utilizando um método numérico com 𝑒 ≤ 0,001.

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