O Teorema Fundamental da Aritmética assegura que dado . A r...

O Teorema Fundamental da Aritmética assegura que dado $a$ existe uma única sequência de números primos $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ e uma única sequência de números naturais não nulos, denominados expoentes $k_1, k_2, \ldots, k_m$, tais que

$$a = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m},$$

dita decomposição primária canônica de $a$. Por exemplo, $28 = 2^2.7^1$ e $1170 = 2^1.3^2.5^1.13^1$.

Com base no Teorema Fundamental da Aritmética e considerando que $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ são números primos, foram feitas duas asserções e a relação entre elas proposta:

I. $p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$ tem $(k_1 + 1).(k_2 + 1).\cdots.(k_m + 1)$ divisores positivos.

PORQUE

II. $x$ é divisor positivo de $p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$ se, e somente se, $x = p_1^{l_1} p_2^{l_2} \cdots p_m^{l_m}$ com $0 \leq l_i \leq k_i$.

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:

Alternativas:

a) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.

b) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II não justifica a I.

c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.