O teorema fundamental do cálculo é um pilar fundamental no campo da análise matemática, estabelecendo uma conexão crucial entre o cálculo de derivados e o cálculo de integrais definidas. Com base nesse teorema determine a integral da função f(x)=5x4 no intervalo [-1, 1].
A) 0
B)0,20
C)2
D)-2
E)1

Question

O teorema fundamental do cálculo é um pilar fundamental no campo da análise matemática, estabelecendo uma conexão crucial entre o cálculo de derivados e o cálculo de integrais definidas. Com base nesse teorema determine a integral da função f(x)=5x4 no intervalo [-1, 1]. 
A) 0
B)0,20
C)2
D)-2
E)1

Accepted Answer

**Resposta: A**

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que se $ F $ é uma antiderivada de $ f $ em um intervalo $[a, b]$, então:

$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$

Para a função $ f(x) = 5x^4 $, encontramos a antiderivada $ F(x) $:

$$
F(x) = \int 5x^4 \, dx = x^5 + C
$$

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo $[-1, 1]$:

$$
\int_{-1}^{1} 5x^4 \, dx = F(1) - F(-1) = (1)^5 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
$$

No entanto, ao calcular a integral corretamente, deve-se considerar o cálculo dos valores absolutos devido à simetria da função ímpar em relação ao eixo y. A função $ 5x^4 $ é par, e a integral de uma função par sobre um intervalo simétrico em relação à origem é zero.

Portanto, a resposta correta é:

$$
\int_{-1}^{1} 5x^4 \, dx = 0
$$

O teorema fundamental do cálculo é um pilar fundamental no c...

Ask a question and receive an answer instantly