O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)

Q: O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)

Para encontrar o valor de $ z^8 $, onde $ z = 2 - 2i $, podemos usar a forma polar dos números complexos ou calcular diretamente usando multiplicação repetida. Vamos calcular diretamente: Primeiro, note que: \[ z = 2 - 2i \] Calculando o módulo de $ z $: \[ |z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] O argumento de $ z $ é: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \] Assim, na forma polar, $ z $ pode ser escrito como: \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Usando a fórmula de De Moivre para calcular $ z^8 $: \[ z^8 = (2\sqrt{2})^8 \left( \cos\left(-8 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-8 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) \] Calculando $ (2\sqrt{2})^8 $: \[ (2\sqrt{2})^8 = (2^8)(\sqrt{2})^8 = 256 \times 16 = 4096 \] E calculando o argumento: \[ -8 \cdot \frac{\pi}{4} = -2\pi \] Sabemos que $ \cos(-2\pi) = 1 $ e $ \sin(-2\pi) = 0 $. Portanto: \[ z^8 = 4096 \times (1 + 0i) = 4096 \] Então, o valor de $ z^8 $ é: \[ \boxed{4096} \]

Question

Accepted Answer

Para encontrar o valor de $ z^8 $, onde $ z = 2 - 2i $, podemos usar a forma polar dos números complexos ou calcular diretamente usando multiplicação repetida. Vamos calcular diretamente:

Primeiro, note que:
$$ z = 2 - 2i $$

Calculando o módulo de $ z $:
$$ |z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$

O argumento de $ z $ é:
$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} $$

Assim, na forma polar, $ z $ pode ser escrito como:
$$ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) $$

Usando a fórmula de De Moivre para calcular $ z^8 $:
$$ z^8 = (2\sqrt{2})^8 \left( \cos\left(-8 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-8 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) $$

Calculando $ (2\sqrt{2})^8 $:
$$ (2\sqrt{2})^8 = (2^8)(\sqrt{2})^8 = 256 \times 16 = 4096 $$

E calculando o argumento:
$$ -8 \cdot \frac{\pi}{4} = -2\pi $$

Sabemos que $ \cos(-2\pi) = 1 $ e $ \sin(-2\pi) = 0 $.

Portanto:
$$ z^8 = 4096 \times (1 + 0i) = 4096 $$

Então, o valor de $ z^8 $ é:
$$ \boxed{4096} $$

O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)

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