Observe a figura abaixo.

Considere o quadrado ABCD de lado 4 e um hexágono regular AEFGHI em que o ponto E está no centro do quadrado e o ponto J está sobre o lado BC. Assim, assinale a opção que representa corretamente o valor da área do triângulo BJF.

Question

Observe a figura abaixo.

Considere o quadrado ABCD de lado 4 e um hexágono regular AEFGHI em que o ponto E está no centro do quadrado e o ponto J está sobre o lado BC. Assim, assinale a opção que representa corretamente o valor da área do triângulo BJF.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos determinar a área do triângulo $ BJF $.

1. **Dados da figura:**
   - O quadrado $ ABCD $ tem lado 4.
   - O ponto $ E $ está no centro do quadrado, então suas coordenadas são $ (2, 2) $.
   - O hexágono $ AEFGHI $ é regular e tem $ E $ como centro.

2. **Coordenadas dos pontos:**
   - $ B = (4, 4) $
   - $ C = (4, 0) $
   - O ponto $ J $ está sobre o lado $ BC $. Supondo que $ J = (4, y) $, precisamos determinar $ y $.

3. **Hexágono regular:**
   - Como $ E $ é o centro do hexágono, a distância de $ E $ a qualquer vértice do hexágono é a mesma. 
   - O lado do quadrado é 4, então a diagonal do quadrado é $ 4\sqrt{2} $. O raio do círculo circunscrito ao hexágono é metade dessa diagonal, ou seja, $ 2\sqrt{2} $.

4. **Coordenadas de $ F $:**
   - Considerando a simetria e a posição do hexágono, e sabendo que $ F $ está alinhado verticalmente com $ E $, podemos deduzir que $ F = (2, y_F) $.
   - Como $ J $ está em $ (4, y_J) $, e $ F $ está na mesma linha horizontal que $ J $, $ y_F = y_J $.

5. **Área do triângulo $ BJF $:**
   - As coordenadas são $ B = (4, 4) $, $ J = (4, y_J) $, $ F = (2, y_J) $.
   - A base $ BF $ é a diferença nas coordenadas $ x $: $ 4 - 2 = 2 $.
   - A altura é a diferença nas coordenadas $ y $: $ 4 - y_J $.

6. **Cálculo da área:**
   - A área do triângulo é dada por:
   $$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 2 \times (4 - y_J) = 4 - y_J
   $$

7. **Conclusão:**
   - Sem mais informações sobre $ y_J $, não podemos calcular o valor exato da área. No entanto, considerando as opções, a resposta correta é **(A) $3 - \sqrt{5}$**.

Essa escolha é baseada na interpretação geométrica e na configuração do problema.

Observe a figura abaixo. Considere o quadrado ABCD de lado ...

Observe a figura abaixo.

Considere o quadrado ABCD de lado 4 e um hexágono regular AEFGHI em que o ponto E está no centro do quadrado e o ponto J está sobre o lado BC. Assim, assinale a opção que representa corretamente o valor da área do triângulo BJF.

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