Obtenha uma fração geratriz das dízimas periódicas compostas a seguir. a) 7,15555... b) -0,53333... c) 69,0333... d) -1,17474...

Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica composta, siga os passos abaixo para cada número:

a) $7,15555\ldots$

1. Seja $x = 7,15555\ldots$.
2. Multiplique por 10 para deslocar a parte não periódica: $10x = 71,5555\ldots$.
3. Multiplique por 100 para deslocar a parte periódica: $100x = 715,5555\ldots$.
4. Subtraia as duas equações:

$$100x - 10x = 715,5555\ldots - 71,5555\ldots$$ $$90x = 644$$

1. Resolva para $x$:

$$x = \frac{644}{90} = \frac{322}{45}$$

b) $-0,53333\ldots$

1. Seja $x = -0,53333\ldots$.
2. Multiplique por 10 para deslocar a parte não periódica: $10x = -5,3333\ldots$.
3. Multiplique por 10 novamente para deslocar a parte periódica: $100x = -53,3333\ldots$.
4. Subtraia as duas equações:

$$100x - 10x = -53,3333\ldots + 5,3333\ldots$$ $$90x = -48$$

1. Resolva para $x$:

$$x = \frac{-48}{90} = \frac{-8}{15}$$

c) $69,03333\ldots$

1. Seja $x = 69,03333\ldots$.
2. Multiplique por 10 para deslocar a parte não periódica: $10x = 690,3333\ldots$.
3. Multiplique por 10 novamente para deslocar a parte periódica: $100x = 6903,3333\ldots$.
4. Subtraia as duas equações:

$$100x - 10x = 6903,3333\ldots - 690,3333\ldots$$ $$90x = 6213$$

1. Resolva para $x$:

$$x = \frac{6213}{90} = \frac{2071}{30}$$

d) $-1,17474\ldots$

1. Seja $x = -1,17474\ldots$.
2. Multiplique por 10 para deslocar a parte não periódica: $10x = -11,7474\ldots$.
3. Multiplique por 1000 para deslocar a parte periódica: $1000x = -1174,7474\ldots$.
4. Subtraia as duas equações:

$$1000x - 10x = -1174,7474\ldots + 11,7474\ldots$$ $$990x = -1163$$

1. Resolva para $x$:

$$x = \frac{-1163}{990} = \frac{-1163}{990}$$

Essas são as frações geratrizes das dízimas periódicas compostas.