obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremis seja 45 e dos meios seja 77

Question

Accepted Answer

Para encontrar uma progressão aritmética (P.A.) crescente de 4 termos, onde o produto dos extremos é 45 e o produto dos meios é 77, vamos considerar a P.A. como $a, a+d, a+2d, a+3d$.

1. Produto dos extremos:
   $$
   a \cdot (a + 3d) = 45
   $$

2. Produto dos meios:
   $$
   (a + d) \cdot (a + 2d) = 77
   $$

Agora, vamos resolver essas equações:

### Equação 1:
$$
a(a + 3d) = 45
$$
$$
a^2 + 3ad = 45
$$

### Equação 2:
$$
(a + d)(a + 2d) = 77
$$
$$
a^2 + 2ad + ad + 2d^2 = 77
$$
$$
a^2 + 3ad + 2d^2 = 77
$$

Subtraindo a primeira equação da segunda:
$$
(a^2 + 3ad + 2d^2) - (a^2 + 3ad) = 77 - 45
$$
$$
2d^2 = 32
$$
$$
d^2 = 16
$$
$$
d = 4 \quad \text{ou} \quad d = -4
$$

Vamos considerar $d = 4$ (pois queremos uma P.A. crescente):

Substituindo $d = 4$ na primeira equação:
$$
a^2 + 3a(4) = 45
$$
$$
a^2 + 12a = 45
$$
$$
a^2 + 12a - 45 = 0
$$

Resolvendo a equação quadrática:
$$
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
onde $b = 12$ e $c = -45$,
$$
a = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)}}{2 \cdot 1}
$$
$$
a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 180}}{2}
$$
$$
a = \frac{-12 \pm \sqrt{324}}{2}
$$
$$
a = \frac{-12 \pm 18}{2}
$$

As soluções são:
$$
a = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{ou} \quad a = \frac{-30}{2} = -15
$$

Considerando $a = 3$ e $d = 4$, temos a P.A.: $3, 7, 11, 15$.

Verificação:
- Produto dos extremos: $3 \times 15 = 45$
- Produto dos meios: $7 \times 11 = 77$

Portanto, a P.A. crescente é $3, 7, 11, 15$.

obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto do...

obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremis seja 45 e dos meios seja 77

Ask a question and receive an answer instantly