Os biólogos observaram que,em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t ,de acordo com a lei Q(t)=Q0.ekt,sendo k0 uma constante que depende da natureza das bactérias;o número irracional e vale aproximadamente 2,718 é Q0 é a quantidade inicial de bacterias. Se uma cultura tem inicialmente 6000 bacterias e,20 min depois,aumentou para 12000,quantas bacterias estarão presentes depois de 1 hora?

Question

Os biólogos observaram que,em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t ,de acordo com a lei Q(t)=Q0.ekt,sendo k>0 uma constante que depende da natureza das bactérias;o número irracional e vale aproximadamente 2,718 é Q0 é a quantidade inicial de bacterias. Se uma cultura tem inicialmente 6000 bacterias e,20 min depois,aumentou para 12000,quantas bacterias estarão presentes depois de 1 hora?

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos determinar a constante $ k $ e depois usar essa constante para calcular o número de bactérias após 1 hora.

1. **Determinar a constante $ k $:**

Sabemos que inicialmente ($ t = 0 $) temos 6000 bactérias, ou seja, $ Q_0 = 6000 $.

Após 20 minutos ($ t = 20 $), o número de bactérias é 12000. Assim, podemos escrever:

$$
   Q(t) = Q_0 \cdot e^{kt}
   $$

$$
   12000 = 6000 \cdot e^{20k}
   $$

Dividindo ambos os lados por 6000, obtemos:

$$
   2 = e^{20k}
   $$

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

$$
   \ln(2) = 20k
   $$

$$
   k = \frac{\ln(2)}{20}
   $$

2. **Calcular o número de bactérias após 1 hora (60 minutos):**

Agora que temos $ k $, podemos calcular o número de bactérias após 60 minutos ($ t = 60 $).

$$
   Q(60) = 6000 \cdot e^{60k}
   $$

Substituindo $ k $:

$$
   Q(60) = 6000 \cdot e^{60 \cdot \frac{\ln(2)}{20}}
   $$

Simplificando a expressão:

$$
   Q(60) = 6000 \cdot e^{3 \cdot \ln(2)}
   $$

$$
   Q(60) = 6000 \cdot (e^{\ln(2)})^3
   $$

$$
   Q(60) = 6000 \cdot 2^3
   $$

$$
   Q(60) = 6000 \cdot 8
   $$

$$
   Q(60) = 48000
   $$

Portanto, após 1 hora, haverá **48000 bactérias** na cultura.

Os biólogos observaram que,em condições ideais, o número de ...

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